Giải bài 4 tr 113 sách GK Toán GT lớp 12
Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:
a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\) ; b)
c) ; d)
Hướng dẫn giải chi tiết bài 4
Câu a:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x+1\\ dv=sin x.dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=-cosx \end{matrix}\right.\)
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
\(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+1)sinx dx=-(x+1)cosx \Bigg|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+ \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos x dx\)
\(=-\left [ \left (\frac{\pi }{2} +1 \right ).cos \frac{\pi }{2}-cos \ 0 \right ]+ sin x \Bigg|_0^{\frac{\pi }{2}}=2\)
Câu b:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=lnx\\ dv=x^2 dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ \\ v=\frac{x^3}{3} \end{matrix}\right.\)
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
\(\int_{1}^{e}x^2 ln x dx=\frac{x^3}{3}lnx \Bigg|^e_1-\frac{1}{3}\int_{1}^{e} x^2 dx=\frac{e^3}{3}-\frac{1}{9}x^3\Bigg|^e_1\)
\(=\frac{e^3}{3}-\frac{1}{9}(e^3-1)=\frac{2}{9}e^3+\frac{1}{9}\)
Câu c:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=ln(1+x)\\ dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{1}{1+x}dx\\ v=x \end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(\int_{0}^{1}ln(1+x)dx=xln(1+x)\Bigg|^1_0-\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x}dx\)
\(=ln2-\int_{0}^{1}\frac{x+1-1}{1+x}dx=ln2-\int_{0}^{1}dx+\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x}\)
\(=ln2-x \Bigg|^1_0+ln(1+x)\Bigg|^1_0=ln2-1+ln2=2ln2-1\)
Câu d:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x^2-2x-1\\ dv=e^xdx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=(2x-2)dx\\ v=-e^{-x} \end{matrix}\right.\)
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
\(\int_{0}^{1}(x^2-2x-1)e^{-x}dx=-e^{-x}(x^2-2x-1) \Bigg|^1_0+\int_{0}^{1} (2x-2)e^{-x}dx\)
\(=\frac{2}{e}-1+2\int_{0}^{1}(x-1)e^{-x}dx\)
Tiếp tục đặt: \(\left\{\begin{matrix} u_1=x-1\\ dv_1=e^{-x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du_1=du\\ v_1=-e^{-x} \end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\int_{0}^{1}(x-1)e^{-x}dx = -e^{-x}(x-1) \Bigg|^1_0+\int_{0}^{1}e^{-x}dx\)
\(=-1-e^{-x}\Bigg|_{0}^{1}=-1-\frac{1}{e}+1=-\frac{1}{e}\)
Vậy \(\int_{0}^{1}(x^2-2x-1)e^{-x}dx=\frac{2}{e}-1-\frac{2}{e}=-1.\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
Video hướng dẫn giải bài 4 SGK
-
Cho tích phân I =\(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} \). Nếu đổi biến \x=2\sin t\) thì?
bởi Triệu Thị Thu Nguyệt
06/05/2020
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Tích phân 0 đến 1 của (x+1)/(x^2+2x+5)dx
bởi Nguyễn Ngọc Quỳnh Như
03/05/2020
Theo dõi (0) 3 Trả lời -
Tính tích phân sau:
bởi tadatada
01/05/2020
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Tính giá trị của biểu thức a + b?
bởi pada
29/04/2020
Câu 23
Theo dõi (1) 3 Trả lời -
Biết \(\int\limits_1^e {x{{\ln }^2}xdx} = \frac{{{e^2} + a}}{b}\) Tính a + b?
bởi Trần Diễm My
28/04/2020
Em muốn hỏi câu 11 12 ạ
Theo dõi (1) 5 Trả lời -
Tính tích phân từ 2-3 của x+8/x^2 x-2 dx
bởi Tạ Văn Quoang
28/04/2020
Cho em xin cách giải chi tiết ạTheo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số f(x) có \(f'(x) = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x - x\sqrt {x + 1} }},\,\,\forall x > 0\) và \(f(1) =2\sqrt 2 \). Khi đó \(\int\limits_1^2 {f(x)dx} \) bằng?
bởi Quan Nghiem
26/04/2020
Các bạn hướng dẫn mình câu 38 với và cho mình hỏi câu này thuộc dạng bài tập gì ạ?
Các bạn hướng dẫn mình câu 38 với và cho mình hỏi câu này thuộc dạng bài tập gì ạ?
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
Chọ đáp án đúng?
bởi Diệu Diệu
23/04/2020
Câu 15 ạ
Theo dõi (1) 4 Trả lời -
Tính \(U_{11}\)
bởi Dối Lòng HaYa
20/04/2020
Theo dõi (0) 3 Trả lời -
Tìm K biết tích phân từ 1 đến 5 của dx/(2x-1)=lnK
bởi B.T. Hien
20/04/2020
Theo dõi (0) 5 Trả lời -
Tính tích phân từ 0 đến 2 của căn (4-x^2)dx
bởi Anh Trần Thị Mỹ
19/04/2020
Theo dõi (0) 3 Trả lời -
Tính tích phân từ 0 đến 1 của (x+1)^2e^2xdx
bởi Gyun Kiến
18/04/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời