YOMEDIA

# Bài tập 1 trang 112 SGK Giải tích 12

Lý thuyết10 Trắc nghiệm

## 37 BT SGK

598 FAQ

Giải bài 1 tr 112 sách GK Toán GT lớp 12

Tính các tích phân sau:

a)$$\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx$$

b) $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx$$

c) $$\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1}{x(x+1)}dx$$

d) $$\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx$$

e) $$\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx$$

g) $$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx$$

## Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Câu a:

Đặt $$u=1-x$$ ta có $$du=-dx$$

Khi $$x=-\frac{1}{2}$$ thì $$u=\frac{3}{2}$$; khi $$x=\frac{1}{2}$$ thì $$u=\frac{1}{2}$$. Do đó:

$$\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx$$ $$=-\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{u^2} du = \int^{\frac{3}{2}}_{\frac{1}{2}} u^{\frac{3}{2}}du =\frac{3}{5}u^{\frac{5}{3}} \bigg|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}$$

$$=\frac{3}{5} u\sqrt[3]{u^2} \bigg| ^{\frac{3}{2}}_{\frac{1}{2}}= \frac{3}{5} \left ( \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{9}{4}}- \frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \right )=\frac{3}{10\sqrt[3]{4}}(3\sqrt[3]{9}-1)$$

Câu b:

Đặt $$u=\frac{\pi }{4}-x$$ ta có $$du=-dx$$

Khi x = 0 thì $$u=\frac{\pi }{4};$$ khi $$x=\frac{\pi }{2}$$ thì $$u=- \frac{\pi }{4}$$. Do đó:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx =-\int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}}sinu. du$$

$$=-\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}sin u. du = -cos u \bigg|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}$$

$$=-\left ( cos \frac{\pi }{4} -cos \left ( -\frac{\pi }{4} \right ) \right )=0$$

Vậy $$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} sin \left ( \frac{\pi }{4} -x \right )dx = 0.$$

Câu c:

Ta có:

$$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$$. Do đó:

$$\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{dx}{x(x+1)}=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right )dx= \int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{dx}{x}-\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{dx}{x+1}$$

$$=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{dx}{x}-\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{d(x+1)}{x+1}= ln \left | x \right | \bigg|^2_{\frac{1}{2}}-ln \left | x+1 \right | \bigg|^2_{\frac{1}{2}}$$

$$=ln2 -ln\frac{1}{2}-ln3-ln\frac{3}{2}=ln2.$$

Câu d:

$$\int_{0}^{2}x(x+1)^2dx=\int_{0}^{2}(x^2+2x^2+x)dx$$

$$= \left ( \frac{x^4}{4}+\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 \right ) \Bigg| ^2_0= 4+\frac{16}{3}+2=\frac{34}{3}$$

Câu e:

Đặt u = x + 1 ta có du = dx và x = u - 1

Khi $$x=\frac{1}{2}$$ thì $$u=\frac{3}{2}$$; khi $$x=2$$ thì $$u=3$$. Do đó:

$$\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{1-3x}{(x+1)^2}dx=\int_{\frac{3}{2}}^{3} \frac{1-3(u-1)}{u^2}du=\int_{\frac{3}{2}}^{3}\frac{4-3u}{u^2}du$$

$$=4\int_{\frac{3}{2}}^{3}-3\int_{\frac{3}{2}}^{3}\frac{du}{u}= -\frac{4}{u} \Bigg |^3_{\frac{3}{2}}-3ln .u\Bigg |^3_{\frac{3}{2}}$$

$$=-\left ( \frac{4}{3} - \frac{4}{\frac{3}{2}}\right )-3 \left ( ln3-ln\frac{3}{2} \right )=\frac{4}{3}-3ln2$$

Câu g:

Ta có: $$sin3x . cos5x =\frac{1}{2}(sin8x-sin2x)$$

Do đó:

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3x. cos5x dx =\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (sin8x - sin2x)dx$$

$$=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin8x dx -\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin 2x dx$$

$$=-\frac{1}{16}cos 8x \Bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{4} cos2x\Bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$$

$$=-\frac{1}{16} \left [ cos4\pi -cos(-4\pi) \right ]+ \frac{1}{4}\left [ cos \pi - cos(-\pi) \right ]$$

$$=-\frac{1}{16}(1-1)+\frac{1}{4}(-1+1)=0$$

-- Mod Toán 12 HỌC247

### Video hướng dẫn giải bài 1 SGK

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 1 trang 112 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ
YOMEDIA
• ### Cho hàm số $$f\left( x \right)$$ liên tục trên $$\mathbb{R}$$ và có $$f\left( -2 \right)=2;f\left( 0 \right)=1.$$

bởi Pham Thi 12/05/2023

Cho hàm số $$f\left( x \right)$$ liên tục trên $$\mathbb{R}$$ và có $$f\left( -2 \right)=2;f\left( 0 \right)=1.$$ Tính $$I=\int\limits_{-2}^{0}{\frac{{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{e}^{x}}}dx}.$$

A. $$I=1-2{{e}^{2}}$$.

B. $$I=1-2{{e}^{-2}}$$.

C. $$I=1+2{{e}^{2}}$$.

D. $$I=1+2{{e}^{-2}}$$.

Theo dõi (0)

15/05/2022

Theo dõi (0)
• ### Cho $$f\left( x \right),g\left( x \right)$$ là các hàm số liên tục trên $$\mathbb{R}$$ thỏa mãn $$\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3,\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} = 4$$ và $$\int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = 8$$. Hãy tính $$\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$$.

bởi Hy Vũ 15/05/2022

Theo dõi (0)
• ### Cho biết $$\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( {x + 1} \right)} dx = - 3$$. Giá trị của $$\int\limits_0^1 {f\left( {x - 1} \right)} dx$$ bằng

bởi Bảo khanh 16/05/2022

Theo dõi (0)
• ### Cho hàm số $$y = f(x)$$ có đạo hàm là hàm liên tục trên $$\mathbb{R}$$ thỏa mãn $$\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)} dx = 45,f\left( 0 \right) = 3.$$ Tính giá trị của biểu thức $$f(2)$$ bằng

bởi Nguyễn Vân 15/05/2022

Theo dõi (0)

15/05/2022

Theo dõi (0)
• ### Cho hàm số $$f\left( x \right)$$ liên tục trên đoạn $$\left[ {0;\,10} \right]$$ và $$\int\limits_0^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x = 7}$$ và $$\int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3}$$. Hãy tính $$P = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x} }$$.

bởi het roi 15/05/2022

Theo dõi (0)
• ### Cho biết hàm số $$f\left( x \right)$$ có đạo hàm liên tục trên $$\mathbb{R}$$ và $$f'\left( x \right) = 2{e^{2x}} + 1\,\,\forall x,\,\,f\left( 0 \right) = 2$$. Hàm $$f\left( x \right)$$ là:

bởi cuc trang 15/05/2022

Theo dõi (0)
• ### Cho biết $$\int\limits_0^m {\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)dx} = 6$$. Giá trị của tham số $$m$$ thuộc khoảng nào?

bởi Song Thu 16/05/2022

Theo dõi (0)
• ### Cho số thực $$a$$ thỏa mãn sau $$\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}dx = {e^2} - 1}$$

bởi Hoa Hong 15/05/2022

Theo dõi (0)
• ### Cho hàm số sau $$f\left( x \right)$$ liên tục trên $$\mathbb{R}$$và $$\int\limits_0^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$$, thì $$\int\limits_0^3 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x}$$ bằng:

bởi Thùy Nguyễn 15/05/2022

Theo dõi (0)
• ### Hãy tính: $$\int\limits_1^2 {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{3x - 2}}}$$

bởi Thuy Kim 16/05/2022

Theo dõi (0)
• ### Cho hàm số $$f\left( x \right)$$ liên tục trên$$\mathbb{R}$$ và$$\int\limits_0^{{\pi ^2}} {f(x)dx = 2018}$$, hãy tính $$I = \int\limits_0^\pi {xf({x^2}} )dx$$

bởi Phung Meo 16/05/2022

Theo dõi (1)

16/05/2022

Theo dõi (0)
• ### Hãy tính: $$\int\limits_0^1 {\sin \sqrt x dx}$$

bởi Hữu Trí 26/04/2022

Theo dõi (0)
• ### Đối với tích phân sau $$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx}$$, thực hiện đổi biến số $$t = \tan x$$ ta được:

bởi Tay Thu 25/04/2022

Theo dõi (0)

25/04/2022

Theo dõi (0)

AANETWORK

YOMEDIA