Bài tập 2 trang 10 SGK Giải tích 12

Phương pháp giải:

Với bài toán tìm khoản đơn điệu của hàm số, ta giải theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

​Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

Với các bước làm như trên chúng ta làm câu a, b, c, d bài 2 như sau:

Câu a: 

Xét hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}\)

Tập xác định:\(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\) . 
\(y'=\frac{4}{(1-x)^{2}}> 0, \forall x \neq 1\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng: \(( -\infty; 1), (1 ; +\infty)\).

Nhận xét: Xét hàm số phân thức bậc nhât trên bậc nhất (Hàm nhất biến) \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\left ( ad-bc \ne 0,c\ne0 \right )\):

• Hàm số luôn luôn đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{d}{c}} \right)\) và \(\left( {-\frac{d}{c}; + \infty } \right).\)
• Công thức tính nhanh đạo hàm \(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}.\)

Câu b: 

Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{1 - x}}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\).
 \(y'=\frac{-x^{2}+2x-2}{(1-x)^{2}}< 0, \forall x \neq 1\) .

Bảng biến thiên:

 Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng: \((-\infty ; 1), (1 ; +\infty)\).

Câu c: 

Xét hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - x - 20} \).

Tập xác định: D = (\(-\infty\);-4] ∪ [5 ;\(+\infty\)).

 \(y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x-20}}, \forall x \in (-\infty ; -4) \cup (5 ; +\infty)\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ; -4)\) và đồng biến trên khoảng \((5 ; +\infty)\).

Câu d: 

Xét hàm số \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}}\).

Tập xác định : \(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ -3 ; 3 \right \}\). 

\(y'=\frac{-2(x^{2}+9)}{\left (x^{2}-9 \right )^{2}} < 0, \forall x \in D.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng : \((-\infty ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +\infty)\).

-- Mod Toán 12 HỌC247