Bài tập 3.27 trang 156 SBT Hình học 10

a) (C₁) có tâm có bán kính R1 = 2;

(C₂) có tâm có bán kính R2 = 1.

b) Xét đường thẳng Δ có phương trình:

y = kx + m hay kx - y + m = 0. Ta có:

Δ tiếp xúc với (C₁) và (C₂) khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}
d\left( {{I_1},\Delta } \right) = {R_1}\\
d\left( {{I_2},\Delta } \right) = {R_2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left| {3k + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2\,\,\left( 1 \right)\\
\frac{{\left| {6k - 3 + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra: |3k + 2| = 2|6k - 3 + m|

TH1: 3k + m = 2(6k - 3 + m) ⇔ m = 6 - 9k (3)

Thay vào (2) ta được

\(\left| {6k - 3 + 6 - 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {3 - 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

⇔ 9 - 18k + 9k² = k² + 1

⇔ 8k² - 18k + 8 = 0

⇔ 4k² - 9k + 4 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{k_1} = \frac{{9 + \sqrt {17} }}{8}\\
{k_2} = \frac{{9 - \sqrt {17} }}{8}
\end{array} \right.\)

Thay giá trị của k vào (3) ta tính được

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{k_1} = 6 - 9{k_1}\\
{k_2} = 6 - 9{k_2}
\end{array} \right.\)

Vậy ta được hai tiếp tuyến

Δ₁: y = k₁x + 6 - 9k₁

Δ₂: y = k₂x + 6 - 9k₂

TH2:

3k + m = - 2(6k - 3 + m)

⇔ 3m = 6 - 15k

⇔ m = 2 - 5k (4)

Thay vào (2) ta được

\(\left| {6k - 3 + 2 - 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {k - 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

⇔ (k - 1)² = k² + 1

⇔ k² - 2k + 1 = k² + 1

⇔ k = 0

Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2.

Vậy ta được tiếp tuyến Δ₃: y = 2

Xét đường thẳng Δ₄ vuông góc với Ox tại x0:

Δ₄: x - x₀ = 0

Δ₄ tiếp xúc vơi (C₁) và (C₂) khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
d\left( {{I_1},{\Delta _4}} \right) = {R_1}\\
d\left( {{I_2},{\Delta _4}} \right) = {R_2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {3 - {x_0}} \right| = 2\\
\left| {6 - {x_0}} \right| = 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 1 \vee {x_0} = 5\\
{x_0} = 5 \vee {x_0} = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5
\end{array}\)

Vậy ta được tiếp tuyến: Δ₄: x - 5 = 0

-- Mod Toán 10 HỌC247