AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {3; - 4; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}
    x = 2 + 4t\\
    y =  - 6t\\
    z =  - 1 - 8t
    \end{array} \right.\). Điểm I(a;b;c) thuộc d là điểm thỏa mãn IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(T = a + b + c\) bằng

    • A. \(\frac{{23}}{{58}}\)
    • B. \(-\frac{{43}}{{58}}\)
    • C. \(\frac{{65}}{{29}}\)
    • D. \(-\frac{{21}}{{58}}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    \(d:\left\{ \begin{array}{l}
    x = 2 + 4t\\
    y =  - 6t\\
    z =  - 1 - 8t
    \end{array} \right.\) có 1 VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {4; - 6; - 8} \right)\) 

    \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {3; - 4; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3; - 4} \right)\) 

    Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3; - 4} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow u  = \left( {4; - 6; - 8} \right)\)

    Mà \(A\left( {1; - 1;2} \right) \notin d \Rightarrow AB//d \Rightarrow A,B,d\) đồng phẳng

    * Xét mặt phẳng chứa AB và d : Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua \(\Delta ;\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua A, vuông góc với d

    Khi đó, giao điểm H của \(\Delta\) với \(\left( \alpha  \right)\) là trung điểm của AA’

    \(\left( \alpha  \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {2; - 3; - 4} \right)\) đi qua A(1;-1;2) có phương trình:

    \(2\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y - 4z + 3 = 0\) 

    \(H \in d:\left\{ \begin{array}{l}
    x = 2 + 4t\\
    y =  - 6t\\
    z =  - 1 - 8t
    \end{array} \right. \Rightarrow \) Giả sử \(H\left( {2 + 4t; - 6t; - 1 - 8t} \right)\) 

    \(H \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow 2\left( {2 + 4t} \right) - 3\left( { - 6t} \right) - 4\left( { - 1 - 8t} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow 58t + 11 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{{11}}{{58}}  \Rightarrow H\left( {\frac{{36}}{{29}};\frac{{33}}{{29}};\frac{{15}}{{29}}} \right)\) 

    Ta có: \(IA + IB = IA' + IB \ge A'B \Rightarrow {\left( {IA + IB} \right)_{\min }} = A'B\) khi và chỉ khi I trùng với I0 là giao điểm của A’B và \(\Delta\) 

    HI0 là đường trung bình của tam giác \(A'AB \Rightarrow \overrightarrow {H{I_0}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {x_{{I_0}}} - \frac{{36}}{{29}} = \frac{1}{2}.2\\
    {y_{{I_0}}} - \frac{{33}}{{29}} = \frac{1}{2}.\left( { - 3} \right)\\
    {z_{{I_0}}} - \frac{{15}}{{29}} = \frac{1}{2}.\left( { - 4} \right)
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {x_{{I_0}}} = \frac{{65}}{{29}}\\
    {y_{{I_0}}} =  - \frac{{21}}{{58}}\\
    {z_{{I_0}}} =  - \frac{{43}}{{29}}
    \end{array} \right.\) 

    \( \Rightarrow {I_0}\left( {\frac{{65}}{{29}}; - \frac{{21}}{{58}}; - \frac{{43}}{{29}}} \right)\) 

    Vậy để \(IA+IB\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(I\left( {\frac{{65}}{{29}}; - \frac{{21}}{{58}}; - \frac{{43}}{{29}}} \right) \Rightarrow a + b + c = \frac{{65}}{{29}} - \frac{{21}}{{58}} - \frac{{43}}{{29}} =  - \frac{{21}}{{58}}\) 

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>