Cho hình hộp ABCD.ABCD có thể tích bằng 1.

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’.

Trong (BDD’B’), gọi I là giao điểm của OO’ và MN

Trong (ACC’A’), gọi K là giao điểm của AI và CC’

Trong (CDD’C’), gọi Q là giao điểm của NK và C’D’

Trong (CBB’C’), gọi P là giao điểm của MK và C’B’

\( \Rightarrow \) Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (AMN) là ngũ giác AMPQN.

Đặt \(\frac{{AA'}}{{AA'}} = x = 0,\frac{{BM}}{{BB'}} = y = \frac{2}{3},\frac{{CK}}{{CC'}} = z,\frac{{DN}}{{DD'}} = t = \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + z = y + t\\
\frac{{{V_{ABCD.MNPQ}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \frac{{x + y + z + t}}{4}
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
0 + z = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \Rightarrow z = \frac{7}{6}\\
\frac{{{V_{ABCD.MNPQ}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \frac{{x + y + z + t}}{4} = \frac{{0 + \frac{2}{3} + \frac{7}{6} + \frac{1}{2}}}{4} = \frac{7}{{12}} \Rightarrow {V_{ABCD.AMKN}} = \frac{7}{{12}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{7}{{12}}\left( 1 \right)\\
{V_{K.CQP}} = \frac{1}{3}{d_{\left( {K;\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}}.{S_{\Delta CQP}}
\end{array}\) 

Mà \({d_{\left( {K;\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}} = \frac{1}{6}{d_{\left( {C;\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}}\) do \(z = \frac{{CK}}{{CC'}} = \frac{7}{6}\) và \({S_{\Delta CQP}} = \frac{1}{4}.\frac{1}{3}{S_{\Delta C'B'D'}} = \frac{1}{{24}}{S_{A'B'C'D'}}\) 

(do \(\frac{{CQ}}{{D'Q}} = \frac{{C'K}}{{ND'}} = \frac{{\frac{1}{6}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{C'Q}}{{C'D'}} = \frac{1}{4};\frac{{C'P}}{{PB'}} = \frac{{C'K}}{{MB'}} = \frac{{\frac{1}{6}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{C'P}}{{B'C'}} = \frac{1}{3}\) )

\( \Rightarrow {V_{K.CQP}} = \frac{1}{3}{d_{\left( {C';\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}}.\frac{1}{{24}}{S_{A'B'C'D'}} = \frac{1}{{432}}{d_{\left( {C';\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}}.{S_{A'B'C'D'}} = \frac{1}{{432}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{1}{{432}}\left( 2 \right)\) 

Từ (1) (2) \( \Rightarrow {V_{ABCD.MPCQN}} = \frac{7}{{12}} - \frac{1}{{432}} = \frac{{251}}{{432}}\) 

Thể tích cần tìm là \(1 - \frac{{251}}{{432}} = \frac{{181}}{{432}}\)