AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 1. Gọi M là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BB'} \) và N là trung điểm của DD’. Mặt phẳng (AMN) chia hình hộp thành hai phần, thể tích phần có chứa điểm A’ bằng

    • A. \(\frac{{67}}{{144}}\)
    • B. \(\frac{4}{9}\)
    • C. \(\frac{3}{8}\)
    • D. \(\frac{{181}}{{432}}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Gọi O, O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’.

    Trong (BDD’B’), gọi I là giao điểm của OO’ và MN

    Trong (ACC’A’), gọi K là giao điểm của AI và CC’

    Trong (CDD’C’), gọi Q là giao điểm của NK và C’D’

    Trong (CBB’C’), gọi P là giao điểm của MK và C’B’

    \( \Rightarrow \) Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (AMN) là ngũ giác AMPQN.

    Đặt \(\frac{{AA'}}{{AA'}} = x = 0,\frac{{BM}}{{BB'}} = y = \frac{2}{3},\frac{{CK}}{{CC'}} = z,\frac{{DN}}{{DD'}} = t = \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x + z = y + t\\
    \frac{{{V_{ABCD.MNPQ}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \frac{{x + y + z + t}}{4}
    \end{array} \right.\)

    \(\begin{array}{l}
    0 + z = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \Rightarrow z = \frac{7}{6}\\
    \frac{{{V_{ABCD.MNPQ}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \frac{{x + y + z + t}}{4} = \frac{{0 + \frac{2}{3} + \frac{7}{6} + \frac{1}{2}}}{4} = \frac{7}{{12}} \Rightarrow {V_{ABCD.AMKN}} = \frac{7}{{12}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{7}{{12}}\left( 1 \right)\\
    {V_{K.CQP}} = \frac{1}{3}{d_{\left( {K;\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}}.{S_{\Delta CQP}}
    \end{array}\) 

    Mà \({d_{\left( {K;\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}} = \frac{1}{6}{d_{\left( {C;\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}}\) do \(z = \frac{{CK}}{{CC'}} = \frac{7}{6}\) và \({S_{\Delta CQP}} = \frac{1}{4}.\frac{1}{3}{S_{\Delta C'B'D'}} = \frac{1}{{24}}{S_{A'B'C'D'}}\) 

    (do \(\frac{{CQ}}{{D'Q}} = \frac{{C'K}}{{ND'}} = \frac{{\frac{1}{6}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{C'Q}}{{C'D'}} = \frac{1}{4};\frac{{C'P}}{{PB'}} = \frac{{C'K}}{{MB'}} = \frac{{\frac{1}{6}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{C'P}}{{B'C'}} = \frac{1}{3}\) )

    \( \Rightarrow {V_{K.CQP}} = \frac{1}{3}{d_{\left( {C';\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}}.\frac{1}{{24}}{S_{A'B'C'D'}} = \frac{1}{{432}}{d_{\left( {C';\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}}.{S_{A'B'C'D'}} = \frac{1}{{432}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{1}{{432}}\left( 2 \right)\) 

    Từ (1) (2) \( \Rightarrow {V_{ABCD.MPCQN}} = \frac{7}{{12}} - \frac{1}{{432}} = \frac{{251}}{{432}}\) 

    Thể tích cần tìm là \(1 - \frac{{251}}{{432}} = \frac{{181}}{{432}}\) 

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>