Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(AC = 2\sqrt 3 a,BD = 2a,\) hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến (SAB) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\) Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\
\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\
\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO
\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\) 

Dựng \(OH \bot AB,H \in AB,OK \bot SH.\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot OH\\
AB \bot SO
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow AB \bot OK\) 

Mà \(OK \bot SH \Rightarrow OK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OK = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

\(\Delta OAB\) vuông tại O, \(OH \bot AB \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Delta SOH\) vuông tạị O, \(OK \bot SH \Rightarrow \frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{{16}}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{4}{{\frac{3}{4}{a^2}}} \Rightarrow SO = \frac{1}{2}a\)

Diện tích hình thoi ABCD: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}2\sqrt 3 a.2a = 2\sqrt 3 {a^2}\) 

Thể tích của khối chóp S.ABCD là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.2\sqrt[{}]{3}{a^2}.\frac{1}{2}a = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{a}\)