Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) $y = 4 + 3x - x^2$.                                    

b) $y =\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 - 7x - 2$.

c) $y = x^4 - 2x^2 + 3$.                               

d) $y = -x^3 + x^2 - 5$.

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) $y = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}$.

b) $y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{1 - x}}$.

c) $y = \sqrt {{x^2} - x - 20}$.

d) $y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}}$.

Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{x}{x^{2}+1}$ đồng biến trên khoảng (-1;1) và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1 ; +\infty)$.

Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{2x-x^{2}}$ đồng biến trên khoảng $(0 ; 1)$ và nghịch biến trên các khoảng $(1 ; 2)$.

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)  $\tan x > x (0 < x <\frac{\pi }{2} )$                              

b) $\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})$

Với các giá trị nào của a hàm số y = ax - x³ nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

​​​​​Tìm các giá trị của tham số a để hàm số: $f(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+4x+3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Chứng minh rằng hàm số: f(x) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $\sin x < x$ với mọi x > 0, $\sin x > x$ với mọi x < 0.

b) $\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}$ với mọi $x\neq 0$

c) $\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}$ với mọi x > 0; 

$\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}$ với mọi x < 0

Chứng minh rằng

$sinx +tanx > 2x$ với mọi $x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$​

Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 ước tính bởi công thức $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$(f(x) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 và đầu năm 1995

b) Xem f là một hàm số xác định trên nữa khoảng $[0; +\infty )$. Tính f'(t) và xét chiều biến thiên của f trên nữa khoảng $[0; +\infty )$.

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dần số cảu thị trấn (tính bằng nghìn người/ năm)

- Tính tốc độ tăng dân số vào đầu năm 1990 của thị trấn

- Tính tốc độ tăng dân số được dự kiến vào năm 2008.

- Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/ năm.

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y = 3{x^2} - 8{x^3}$;

b) $y = 16x + 2{x^2} - \frac{{16}}{3}{x^3} - {x^4}$;

c) $y = {x^3} - 6{x^2} + 9x$;

d) $y = {x^4} + 8{x^2} + 5$

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) ${y = \frac{{3 - 2x}}{{x + 7}}}$;

b) $y = \frac{1}{{{{(x - 5)}^2}}}$;

c) $y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}}$;

d) $y = \frac{{{x^4} + 48}}{x}$;

e) $y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}$;

g) $y = \frac{{{x^2} - 5x + 3}}{{x - 2}}$.

Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 100}}$;

b) $y = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 6} }}$.

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) ${y = x - \sin x,x \in [0;2\pi ]}$;

b) ${y = \sin \frac{1}{x},(x > 0)}$.

Xác định tham số m để hàm số sau:

a) $y = \frac{{mx - 4}}{{x - m}}$ đồng biến trên từng khoảng xác định;

b) $y =  - {x^3} + m{x^2} - 3x + 4$ nghịch biến trên (−∞;+∞).

Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất.

$3(\cos x - 1) + 2\sin x + 6x = 0$

Xác định giá trị của b để hàm số $f(x) = \sin x - bx + c$ nghịch biến trên toàn trục số.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $y = \sin x$ là hàm số chẵn.

B. Hàm số $y = \frac{{\sqrt {3x + 5} }}{{x - 1}}$ xác định trên R.

C. Hàm số $y = {x^3} + 4x - 5$ đồng biến trên R.

D. Hàm số $y = \sin x + 3x - 1$ nghịch biến trên R.

Hàm số $y = \sqrt {25 - {x^2}}$ nghịch biến trên khoảng:

A.  (−∞;0)

B.  (−5;0)

C.  (0;5)

D.  (5;+∞)

Hàm số $y = \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}$ đồng biến trên khoảng:

A.  (4;+∞)

B.  (−4;4)

C. (−∞;−4)

D. R

Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. $3{\sin ^2}x - {\cos ^2}x + 5 = 0$

B. ${x^2} - 5x + 6 = 0$

C. ${x^5} + {x^3} - 7 = 0$

D. $3\tan x - 5 = 0$

Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. ${x^2} - 7x + 12 = 0$

B. ${x^3} + 5x + 6 = 0$

C. ${x^4} - 3{x^2} + 1 = 0$

D. $2\sin x{\cos ^2}x - 2\sin x - {\cos ^2}x + 1 = 0$

Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. $(x - 5)({x^2} - x - 12) = 0$

B. $- {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0$

C. ${\sin ^2}x - 5\sin x + 4 = 0$

D. $\sin x - \cos x + 1 = 0$

Tìm giá trị của tham số m để hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} + 12x - 7$ đồng biến trên R.

A. $m = 4$

B. $m \in (0; + \infty )$

C. $m \in \left( { - \infty ;0} \right)$

D. $- 3 \le x \le 3$

Tìm giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{{ - mx - 5m + 4}}{{x + m}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định.

A.  m < 1 hoặc m > 4

B.  0 < m < 1

C.  m > 4

D.  1 ≤ m ≤ 4

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

$\begin{array}{l} a)\,y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\\ b)\,y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\\ c)y = x + \frac{3}{x}\\ d)y = x - \frac{2}{x}\\ e)y = {x^4} - 2{x^2} - 5\\ f)y = \sqrt {4 - {x^2}}  \end{array}$

Chứng minh rằng:

a) Hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Hàm số $y = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R

a) $f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 17x + 4$

b) $f\left( x \right) = {x^3} + x - \cos x - 4$

Với các giá trị nào của a, hàm số $y = ax - {x^3}$ nghịch biến trên R

Tìm các giá trị của tham số a để hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3$ đồng biến trên R

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

$\begin{array}{l} a)y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\\ b)y =  - \frac{4}{3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - \frac{2}{3}\\ c)y = \frac{{{x^2} - 8x + 9}}{{x - 5}}\\ d)y = \sqrt {2x - {x^2}} \\ e)y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \\ f)y = \frac{1}{{x + 1}} - 2x \end{array}$

Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên R

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin x < x với mọi x > 0, sin x > x với mọi x < 0

b) $\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}$ với mọi $x \ne 0$

c) $\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}$ với mọi x > 0, $\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}$ với mọi x < 0

Chứng minh rằng sinx + tanx > 2x với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

Số dân của một thị trấn t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}$ (f(t) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1908 và đầu năm 1995

b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$. Tính f’(t) và xét chiều biến thiến của h trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dần của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

• Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn.
• Vào năm nào thì tốc độ tăng dần số là 0,125 nghìn /người?