Đại số và Giải tích 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Lý thuyếtBT SGK FAQ

Ở bài 2, các em đã được học quy tắc tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp. Bài 3 Đạo hàm của hàm số lượng giác sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm của các hàm số lượng giác.

Tóm tắt lý thuyết

1. Đạo hàm của hàm số y=sinx

Hàm số \(y=sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x.\)

Nếu \(y=sin u\) và \(u=u(x)\) thì \((sin u)'=u'. \cos u.\)

2. Đạo hàm của hàm số y=cosx

Hàm số \(y=\cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cos x} \right)' =-\sin x.\)

Nếu \(y=\cos u\) và \(u=u(x)\) thì \((cos u)'=-u'. \sin u.\)

3. Đạo hàm của hàm số y=tanx

Hàm số \(y=\tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)

Nếu \(y=tan u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}.\)

4. Đạo hàm của hàm số y=cotx

Hàm số \(y=\cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)

Nếu \(y=\cot u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\cot x} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\).

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: 

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right).\)

b) \(y = \sin \sqrt {x + 10} .\)

c) \(y = \sin \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)\(\Rightarrow y' = \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)'.\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)\(= - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right).\)

b) \(y = \sin \sqrt {x + 10}\)\(\Rightarrow y' = \left( {\sqrt {x + 10} } \right)'.\cos \sqrt {x + 10}\)\(= \frac{1}{{2\sqrt {x + 10} }}.\cos \sqrt {x + 10} .\)

c) \(y = \sin \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)\)\(\Rightarrow y' = \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)'.\cos \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)\)\(= \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.\cos \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right).\)

Ví dụ 2:

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \cos \left( {{x^3} - x} \right).\)

b) \(y = \cos \sqrt {{x^2} - 8} .\)

c) \(y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \cos \left( {{x^3} - x} \right)\)\(\Rightarrow y' = - \left( {{x^3} - x} \right)'.\sin \left( {{x^3} - x} \right)\)\(= - \left( {3{x^3} - 1} \right).\sin \left( {{x^3} - x} \right).\)

b) \(y = \cos \sqrt {{x^2} - 8}\)\(\Rightarrow y' = - \left( {\sqrt {{x^2} - 8} } \right)'.\sin \sqrt {x + 10}\)\(= \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 8} }}.\sin \sqrt {{x^2} - 8} .\)

c) \(y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)\)\(\Rightarrow y' = \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)'.\sin \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)\)\(= \frac{4}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\sin \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).\)

Ví dụ 3: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

a) \(y = \tan \left( {{x^5} - 5x} \right)\).

b) \(y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}\).

Hướng dẫn giải: 

a) \(y = \tan \left( {{x^5} - 5x} \right)\) \(\Rightarrow y' = \frac{{({x^5} - 5x)'}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} - 5x} \right)}} = \frac{{5{x^4} - 5}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} - 5x} \right)}}\).

b) \(y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}\)\(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}} = \frac{{2{x^3}}}{{\sqrt {{x^4} + 1} .{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}\).

Ví dụ 4: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \cot \left( {7{x^3} - 6x} \right)\).

b) \(y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \cot \left( {7{x^3} - 6x} \right)\) \(\Rightarrow y' = \frac{{(7{x^3} - 6x)'}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} - 6x} \right)}} = - \frac{{21{x^2} - 6}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} - 6x} \right)}}\).

b) \(y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)\)\(\Rightarrow y' = 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left[ {\cot \left( {5x + 1} \right)} \right]'\)

\(= 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left( {\frac{{ - 5}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}} \right)\)\(= \frac{{ - 20{{\cot }^3}\left( {5x + 1} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}\).

Lời kết

Trong phạm vi bài học chỉ có thể giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Đạo hàm của hàm số lượng giác. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đạo hàm của hàm số lượng giác với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247

Được đề xuất cho bạn