AMBIENT

Bài tập 6 trang 169 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải bài 6 tr 169 sách GK Toán ĐS & GT lớp 11

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) \(sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x\);

b) \(cos^2\) \(+\) \(cos^2\) \(+\)  \(cos^2\)  \(+\) \(cos^2\)  \(-2sin^2x\).

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 6

Yêu cầu bài toán tương đương với chứng minh các hàm số có đạo hàm là các hằng số.

Áp dụng các qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác ta có lời giải chi tiết câu a, b bài 6 như sau.

Câu a:

\(y=sin^6x+cos^6x+3sin^2xcos^2x\)

\(y'=6cosxsin^5x-6sinxcos^5x+3(2sinxcosxcos^2x-2sin^2xcosxsinx)\)

\(=6cosxsin^5x-6sinxcox^5x+6sinxcos^3x-6cosxsin^3x\)

\(=3sin^4xsin2x-3cos^4xsin2x+3sin2xcos^2x-3sin2xsin^2x\)

\(=3sin2x(sin^4x-cos^4x)+3sin2x(cos^2x-sin^2x)\)

\(=3sin2x(sin^2x-cos^2x)(sin^2x+cos^2x)-3sin2x(sin^2x-cos^2x)\)

\(=3sin2x(sin^2x-cos^2x)-3sin2x(sin^2x-cos^2x)=0\)

Vậy y'=0 với mọi x hay y' không phụ thuộc x

Câu b:

\(y=cos^2\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )=cos\left ( \pi -\frac{\pi }{3}-x \right )= -cos\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\)

Ta có: \(cos\left (\frac{2\pi }{3}-x \right )= cos\left ( \pi -\frac{\pi }{3}-x \right )=-cos\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\)

\(cos\left (\frac{2\pi }{3}+x \right )= cos\left ( \pi -\frac{\pi }{3}+x \right )=-cos\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\)

hay \(cos^2\left ( \frac{2\pi }{3} -x\right )=cos^2\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\)

\(cos^2\left ( \frac{2\pi }{3} +x\right )=cos^2\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\)

Do đó \(y=2cos^2\left ( \frac{\pi }{3} -x \right )+2cos^2\left ( \frac{\pi }{3} +x\right )-2sin^2x\)

Suy ra:

\(y'=4sin\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )cos\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )- 4sin\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )cos\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )-4cosxsinx\)

\(=2sin\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )-2sin\left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2sin2x\)

\(=2\left [ sin \frac{2\pi }{3}cos2x-sin2xcos\frac{2\pi }{3} -sin\frac{2\pi }{3}cos2x-sin2xcos\frac{2\pi }{3}-sin2x\right ]\)

\(=2\left [ -sin2xcos\frac{2\pi }{3} -sin2xcos\frac{2\pi }{3}-sin2x\right ]\)

\(=2\left [ \frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{2}sin2x-sin2x\right ]=0\)

Vậy y'=0, với mọi x hay y' không phụ thuộc vào x.

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 6 trang 169 SGK Đại số & Giải tích 11 HAY thì click chia sẻ 

 

YOMEDIA