Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyếtTrắc nghiệmBT SGK FAQ

Ở bài 1, các em đã được tìm hiều về khái niệm đạo hàm và phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa. Khuyết điểm của phương pháp này là rất khó áp dụng với các hàm số phức tạp, và phải trải qua nhiều công đoạn tính toán. Bài 2 Quy tắc tính đạo hàm sẽ giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm.

Quảng cáo

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Định lý 1: Hàm số \(y = {x^n}(n \in \mathbb{N},n > 1\)) có đạo hàm với mọi \(x \in\mathbb{R}\) và: \({\left( {{x^n}} \right)'} = n{x^{n - 1}}.\)

Nhận xét: 

  • (c)'=0 (với c là hằng số).
  • (x)'=1.

Định lý 2: Hàm số \(y= \sqrt x\) có đạo hàm với mọi x dương và: \(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)

1.2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Định lý 3: Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

  • \({\left( {u + v} \right)'} = {u'} + {v'}\)
  • \({\left( {u - v} \right)'} = {u'} - {v'}\)
  • \({\left( {u.v} \right)'} = {u'}.v + u.{v'}\)
  • \(\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2},(v(x) \ne 0)\)

Mở rộng:

  • \(({u_1} + {u_2} + ... + {u_n})' = {u_1}' + {u_2}' + ... + {u_n}'.\)

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: \((ku)'=ku'.\)

Hệ quả 2: \({\left( {\frac{1}{v}} \right)'} = - \frac{{ - v'}}{{{v^2}}}\) , \((v(x)\ne 0)\)

 

  • \((u.v.{\rm{w}})' = u'.v.{\rm{w}} + u.v'.{\rm{w}} + u.v.{\rm{w}}'\)

1.3. Đạo hàm với hàm hợp

Định lý: Cho hàm số \(y=f(u)\) với \(u=u(x)\) thì ta có: \(y'_u=y'_u.u'_x.\)

Hệ quả:

  • \(({u^n}) = n.{u^{n - 1}}.u',n \in \mathbb{N}^*.\)
  • \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}.\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: 

a) Cho hàm số f(x)=x6. Tính f'(x) và f'(1).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt x\) tại x=9.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(f'(x) = 6{x^5},\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy: \(f'(1) = 6.\)

b) Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Tại x=9 ta có: \(f'(9) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}.\)

Ví dụ 2: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x.\)

b) \(y=(x^2+1)(3-2x^2).\)

c) \(y=(x^2+3)^5.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x} \right)' = {x^2} - 4x + 3.\)

b) \(y' = \left[ {({x^2} + 1)(3 - 2{x^2})} \right]' = ({x^2} + 1)'(3 - 2{x^2}) + ({x^2} + 1)(3 - 2{x^2})'\)

\(= 2x(3 - 2{x^2}) - 4x({x^2} + 1) = - 8{x^3} + 2x.\)

c) \(y' = \left[ {{{({x^2} + 3)}^5}} \right]' = 5{({x^2} + 3)^4}({x^2} + 3)' = 10x{({x^2} + 3)^4}.\)

Ví dụ 3: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{x}.\)

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\)

c) \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} - 2}}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{x}} \right)' = \left( {\frac{1}{4}x} \right)' + \left( {\frac{1}{x}} \right)' = \frac{1}{4} - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{4{x^2}}}.\)

b) \(y' = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)' = \frac{{(2x + 1)'(x + 1) - (2x + 1)(x + 1)'}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)

c) \(y' = \left( {\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} - 2}}} \right)' = \frac{{( - {x^2} + 2x + 3)'({x^3} - 2) - ( - {x^2} + 2x + 3)({x^3} - 2)'}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}}\)

\(= \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)({x^3} - 2) - 3{x^2}( - {x^2} + 2x + 3)}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}} = \frac{{{x^4} - 4{x^3} - 9{x^2} + 4x - 4}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}}.\)

Ví dụ 4: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

a) \(y = \frac{2}{x} + 5\sqrt x .\)

b) \(y = (x - 2)\sqrt {{x^2} + 1}\)

c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\) với a là hằng số.

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \left( {\frac{2}{x} + 5\sqrt x } \right)' = \left( {\frac{2}{x}} \right)' + \left( {5\sqrt x } \right)' = - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{5}{{2\sqrt x }} = \frac{{5x\sqrt x - 4}}{{2{x^2}}}.\)

b) \(y = \left[ {(x - 2)\sqrt {{x^2} + 1} } \right]' = (x - 2)'\sqrt {{x^2} + 1} + (x - 2)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'\)

\(= \sqrt {{x^2} + 1} + \left( {x - 2} \right)\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{x(x - 2)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

c) \(y' = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)' = \frac{{\left( x \right)'\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x.\frac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{{a^2}}}{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}.\)

3. Luyện tập Bài 2 chương 5 giải tích 11

Bài 2 Quy tắc tính đạo hàm sẽ giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổnghiệutíchthương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm.

3.1 Trắc nghiệm về Quy tắc tính đạo hàm

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Quy tắc tính đạo hàm

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 162 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 162 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 163 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 163 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5 trang 163 SGK Đại số & Giải tích 11

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 5 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 11 HỌC247

Quảng cáo

Được đề xuất cho bạn