Giải bài tập SGK Bài 3 Chương 5 Toán 11 Cơ bản & Nâng cao

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)  \(y = \frac{x-1}{5x-2}\); 

b)  \(y =\frac{2x+3}{7-3x}\);

c)  \(y =\frac{x^{2}+2x+3}{3-4x}\);

d)  \(y =\frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}-3x}\).

Giải các bất phương trình sau:

a) \(y'<0\) với \(y = \frac{x^{2}+x+2}{x-1}\) ;

b) \(y'\geq 0\) với  \(y =\frac{x^{2}+3}{x+1}\);

c) \(y'>0\) với  \(y =\frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\).

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 5sinx -3cosx\)

b) \(y=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\)

c) \(y = x cotx\)

d) \(y =\frac{sinx}{x}\) + \(\frac{x}{{\sin x}}\)

e)  \(y = \sqrt{(1 +2tan x)}\)

f) \(y = sin\sqrt{(1 +x^2}).\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = (9 -2x)(2x^3- 9x^2 +1)\);

b) \(y=\left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)\) ;

c) \(y = (x -2)\sqrt{(x^2 +1)}\);

d) \(y = tan^2x +cotx^2\);

e) \(y = cos \frac{x}{1+x}\).

Tính \(\frac{{f'(x)}}{{\varphi (1)'}}\), biết rằng \(f(x) = x^2\) và \(\varphi (x) = 4x +sin\)\(\frac{{\pi x}}{2}\).

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) \(sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x\);

b) \(cos^2\)\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\) \(+\) \(cos^2\)\(\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\) \(+\)  \(cos^2\)\(\left( {\frac{2\pi }{3} - x} \right)\)  \(+\) \(cos^2\) \(\left( {\frac{2\pi }{3} + x} \right)\) \(-2sin^2x\).

Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:

a) \(f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x\);

b) \(f(x) = 1 - sin(\pi + x) + 2cos \left ( \frac{2\pi +x}{2} \right )\).

Giải bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\), biết rằng:

a) \(f(x) = x^3 + x - \sqrt{2}, g(x) = 3x^2 + x + \sqrt{2}\) ;

b)  \(f(x) = 2x^3 - x^2 + \sqrt{3}, g(x) = x^3 +\frac{x^{2}}{2}-\sqrt{3}\).

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {{{\tan }^3}x} \)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{2}{{\cos \left( {\frac{\pi }{6} - 5x} \right)}}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} + 0,1{x^{10}}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(g\left( \varphi  \right) = \frac{{\cos \varphi  + \sin \varphi }}{{1 - \cos \varphi }}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^4}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\sin ^2}3x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } \)

Giải các phương trình:

a) \(f'\left( x \right) = 0\) với \(f\left( x \right) = 1 - \sin \left( {\pi  + x} \right) + 2\cos \left( {\frac{{3\pi  + x}}{2}} \right)\)

b) \(g'\left( x \right) = 0\) với \(g\left( x \right) = \sin 3x - \sqrt 3 \cos 3x + 3\left( {\cos x - \sqrt 3 \sin x} \right)\)

Chứng minh rằng \(f'(x) = 0,\forall x \in R\), nếu:

a) \(f\left( x \right) = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right);\)

b) \(f\left( x \right) = {\cos ^6}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x\)

c) \(f\left( x \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\)

d) \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\)

Cho \(y = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x\)

Với giá trị nào của x thì:

a) \(y'\left( x \right) = 0\)$;$

b) \(y'\left( x \right) =  - 2\);

c) \(y'\left( x \right) =10\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {a^5} + 5{a^3}{x^2} - {x^5}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{a + b}}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \left( {x\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)\left( {x\cos \alpha  - \sin \alpha } \right)\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \left( {1 + n{x^m}} \right)\left( {1 + m{x^n}} \right)\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{1 + x - {x^2}}}{{1 - x + {x^2}}}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{x}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = x\sqrt {1 + {x^2}} \)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{\cos x + x\sin x}}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \tan x - \frac{1}{3}{\tan ^3}x + \frac{1}{5}{\tan ^5}x\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{\sin {x^2}}}{x}\)

A. \(\frac{{2{x^2}\cos {x^2} - \sin {x^2}}}{{{x^2}}}\)

B. \(\frac{{2x\cos {x^2} - \sin {x^2}}}{x}\,\)

C. \(\frac{1}{{{x^2}}}\)

D. \(2{x^2}\cos {x^2} - \sin x\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x - \cot {x^2}\)

A. \(\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} + \frac{{2x}}{{\sin {x^2}}}\)

B. \(\frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\)

C. \(\frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} - \frac{{2x}}{{\sin {x^2}}}\)

D. \(\frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} + \frac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\)

Cho \(f\left( t \right) = \frac{{\cos t}}{{1 - \sin t}}\). Tính \(f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\)

A. -2

B. -3

C. 2

D. 5

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {3 - \sin x} \right)^3}\)

A. \(3\left( {3 - \sin x} \right)\)

B. \( - 3{\left( {3 - \sin x} \right)^2}\cos x\)

C. \( - 3\left( {3 - \sin x} \right).\cos x\)

D. \( - 3\left( {3 - \sin x} \right).{\cos ^2}x\)

Tìm đạo hàm của \(g\left( \varphi  \right) = \frac{{\cos \varphi  + \sin \varphi }}{{1 - \cos \varphi }}\)

A. \(g'\left( \varphi  \right) = \frac{{\cos \varphi  - \sin \varphi  - 1}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\)

B. \(g'\left( \varphi  \right) = \cos \varphi  - \sin \varphi \)

C. \(g'\left( \varphi  \right) = \frac{{\sin \varphi  + \cos \varphi  - 1}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\)

D. \(g'\left( \varphi  \right) = 1 - \sin \varphi  - \cos \varphi \)

Cho hàm số \(y = \cot \sqrt {1 + {x^2}} \). Tính y′(1)

A. \(\frac{1}{{\sqrt 2 {{\sin }^2}\sqrt 3 }}\)

B. \( - \frac{1}{{\sqrt 2 {{\sin }^2}\sqrt 2 }}\)

C. \(\frac{1}{{2\sqrt {2 + {{\sin }^2}\sqrt 2 } }}\)

D. \(\sqrt {{{\sin }^2}\sqrt 2 } \)

Cho \(f\left( x \right) = 5{x^2} - 16\sqrt x  + 7\). Tính \(f'\left( 4 \right);f'\left( {\frac{1}{4}} \right)\)

Cho \(g\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {x - 2} \right)\). Tính g′(2)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \tan \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2}\)

A. \({\cot ^2}x\left( {x \ne k\pi } \right)\)

B. \({\tan ^2}x\left( {x \ne k\frac{\pi }{2}} \right)\)

C. \(\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\)

D. \(\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}\left( {x \ne k\pi ,k \in Z} \right)\)

Giải phương trình \(f'\left( x \right) = g\left( x \right)\) biết

\(g\left( x \right) = \sin x\) và \(f\left( x \right) = \left( {2 - {x^2}} \right)\cos x + 2x\sin x\)

A. \(x = 1;x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

B. \(x = 0;x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

C. \(x =  \pm 1;x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

D. \(x =  \pm ;x = k\frac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)\)

Tìm các giới hạn sau:

\(\begin{array}{l}
a)\mathop {lim}\limits_{x \to 0} \frac{{tan2x}}{{sin5x}}\\
b)\mathop {lim}\limits_{x \to 0} \frac{{1 - cos2x}}{{xsin2x}}\\
c)\mathop {lim}\limits_{x \to 0} \frac{{1 + sinx - cosx}}{{1 - sinx - cosx}}
\end{array}\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)y = 5\sin x - 3\cos x}\\
{b)y = \sin ({x^2} - 3x + 2)}\\
{c)y = \cos \sqrt {2x + 1} }\\
{d)y = 2\sin 3x\cos 5x}\\
{e)y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}}}\\
{f)y = \sqrt {\cos 2x} }
\end{array}\)

Chứng minh rằng hàm số \(y = si{n^6}x + co{s^6}x + 3si{n^2}xco{s^2}x\) có đạo hàm bằng 0.

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)y = \tan \frac{{x + 1}}{2}}\\
{b)y = \cot \sqrt {{x^2} + 1} }\\
{c)y = {{\tan }^3}x + \cot 2x}\\
{d)y = \tan 3x - \cot 3x}\\
{e)y = \sqrt {1 + 2\tan x} }\\
{f)y = x\cot x}
\end{array}\)

Chứng minh rằng :

a. Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức y′ − y² − 1 = 0

b. Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức y′ + 2y² + 2 = 0

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)y = \frac{{\sin x}}{x} + \frac{x}{{\sin x}}}\\
{b)y = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \tan 2x}}}\\
{c)y = \tan (\sin x)}\\
{d)y = x\cot ({x^2} - 1)}\\
{e)y = {{\cos }^2}\sqrt {\frac{\pi }{4} - 2x} }\\
{f)y = x\sqrt {\sin 3x} }
\end{array}\)

Tính f′(π) nếu \(f(x) = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{\cos x - x\sin x}}\)

Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau :

a. y = sin2x - 2cosx

b. y = 3sin2x + 4cos2x + 10x

c. y=cos²x + sinx

d. y = tanx + cotx

Cho hàm số f(x) = 2cos²(4x − 1). Chứng minh rằng với mọi x ta có |f′(x)| ≤ 8. Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

Cho mạch điện như hình 5.7. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q₀. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây ; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = Q₀sinωt. Trong đó, ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức I(t) = q′(t) Cho biết Q₀ = 10^-8 và ω = 10⁶π rad/s. Hãy tính cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6s (tính chính xác đến 10^-5 mA)

Cho hàm số y = cos2x + msinx (m là tham số) có đồ thị là (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau:

a. Tiếp tuyến của (C) tại điểm với hoành độ x = π có hệ số góc bằng 1

b. Hai tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ x = −π/4 và x = π/3 song song hoặc trùng nhau.