Bài tập 3 trang 126 SGK Giải tích 12

Phương pháp:

Biến đổi hàm số cần tính nguyên hàm về tổng của các hàm số mà ta đã biết công thức xác định nguyên hàm của chúng đã được học ở bài 1 chương 3 Giải tích 12.

Lời giải:

Câu a:

Ta có \(f(x)=(x-1)(6x^2-5x+1)=x^3-11x^2+6x-1\)

Vậy \(\int f(x)dx=\frac{3x^4}{2}-\frac{11}{3}x^3+3x^2-C\).

 Câu b:

Ta có \(\sin 4x.co{s^2}2x = \sin 4x.\frac{1}{2}(1 + \cos 4x)\)

Vậy:

 \(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\int {\sin 4xdx} + \frac{1}{4}\int {\sin 8xdx} \\ = - \frac{1}{8}\cos 4x - \frac{1}{{32}}\cos 8x + C. \end{array}\)

Câu c:
Ta có: 

\(\begin{array}{l} f(x)\frac{1}{{1 - {x^2}}} = \frac{1}{{(1 - x)(1 + x)}} = \frac{a}{{1 - x}} + \frac{b}{{1 + x}}\\ = \frac{{a(1 + x) + b(1 - x)}}{{(1 - x)(1 + x)}} = \frac{{(a - b)x + a + b}}{{(1 - x)(1 + x)}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - b = 0\\ a + b = 1 \end{array} \right. \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}}} \right] \end{array}\)

Vậy \(f(x)dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+x}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}dx\) \(=\frac{1}{2}ln\left | x+1 \right |-\frac{1}{2}ln\left | x-1 \right |= \frac{1}{2}ln \left | \frac{x+1}{x-1} \right |+C\).

Câu d:

Ta có: \(\int (e^x-1)^3dx=\int (e^{3x}-3e^{2x}+3e^x-1)dx\) \(=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C\).

-- Mod Toán 12 HỌC247