Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 3 Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng

a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng.

b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.

a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số f(x) trên một đoạn.

b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.

 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\)

b) \(f(x)=sin4xcos^22x\)
c) \(f(x)=\frac{1}{1-x^2}\)

c)\(f(x)=(e^x-1)^3\)

Tính:

a) \(\int (2-x)sinxdx\)

b) \(\frac{\int (x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\)
c) \(\int \frac{e^{3x+1}}{e^x+1}dx\)
d) \(\int \frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\)
e) \(\int \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\)
f) \(\int \frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\)

Tính:
a) \(\int_{3}^{0}\frac{x}{\sqrt{1+x}}dx\)
b) \(\int_{1}^{64} \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx\)
c) \(\int_{0}^{2} x^2.e^{3x}dx\)
d) \(\int_{0}^{\pi} \sqrt{1+sin2x}dx\)

Tính:

a) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos2xsin^2xdx\)

b) \(\int_{-1}^{1}\left | 2^2-2^{-x} \right |dx\)

c) \(\int_{-1}^{2} \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{x^2}dx\)

d) \(\int_{-1}^{\frac{\pi }{2}} (sinx+cosx)^2dx\)

e) \(\int_{-1}^{\pi } (x+sinx)^2dx\)

g) \(\int_{0}^{\pi }(x+sinx)^2dx\)

Xét hình phẳng D giới hạn bởi \(y=2\sqrt{1-x^2}\) và \(y=2(1-x)\)

a) Tính diện tích hình D

b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Tính \(\frac{\int dx}{\sqrt{1-x}}\) kết quả:

 (A). \(\frac{C}{ \sqrt{1-x}}\)                  (B) \(C\sqrt{1-x}\)

(C). \(-2\sqrt{1-x}+C\)      (D) \(\frac{2}{\sqrt{1-x}}+C\)

 Tính \(\int 2^{\sqrt{x}}.\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx\), kết quả sai là:
(A) \(2^{\sqrt{x}+1}+C\)       

(B) \(2(2^{\sqrt{x}}-1)+C\)

(C) \(2(2^{\sqrt{x}}+1)+C\) 

(D) \(2^{\sqrt{x}}+C\)

 Tích phân \(\int_{0}^{\pi}cos^2x sinxdx\) bằng:
(A) \(-\frac{2}{3}\)          (B) \(\frac{2}{3}\)

(C)  \(\frac{3}{2}\)            (D) 0

Cho hai tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^2xdx\) và \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2x dx\). Hãy chỉ ra khẳng định đúng:

(A)  \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^2xdx >\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2x dx\)
(B) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^2xdx <\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2x dx\)
(C) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^2xdx =\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2x dx\)

(D) Không so sánh được

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong:  

Câu a:  \(y=x^3\) và \(y=x^5\) bằng: 

(A). 0  

(B). -4

(C). \(\frac{1}{6}\) 

(D). 2

Câu b: \(y=x+sinx\) 

(A). -4  

(B). 4

(C). 0  

(D). 1

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}\) và \(y=x\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

(A). 0

(B). \(-\pi\)

(C). \(\pi\)

(D). \(\frac{\pi}{6}\)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)y = 2x(1 - x - 3)}\\
{b)y = 8x - \frac{2}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}}\\
{c)y = {x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)}\\
{d)y = \frac{{\sin (2x + 1)}}{{{{\cos }^2}(2x + 1)}}}
\end{array}\)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)y = \frac{1}{{{x^2}}}\cos \left( {\frac{1}{x} - 1} \right)\\
b)y = {x^3}{\left( {1 + {x^4}} \right)^3}\\
c)y = \frac{{x{e^{2x}}}}{3}\\
d)y = {x^2}{e^x}
\end{array}\)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a. y =  x.e^-x

b. \(y = \frac{{\ln x}}{x}\)

Tìm hàm số y = f(x) nếu biết dy = 12x(3x² − 1)³dx và f(1) = 3

Xác định số b dương để tích phân \(\int\limits_0^b {(x - {x^2})dx} \) có giá trị lớn nhất.

Cho biết \(\int\limits_7^9 {f(x)dx}  =  - 1,\)

\(\int\limits_7^9 {f(x)dx}  = 5,\int\limits_7^9 {g(x)dx}  = 4.\)

Hãy tìm:

\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_1^9  - 2f\left( x \right)dx\\
b)\int \limits_7^9 \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx\\
c)\int\limits_7^9 {[2f(x) - 3g(x)]dx} \\
d)\int\limits_1^7 {f(x)dx} 
\end{array}\)

Cho hàm số f liên tục trên [a; b]. Tỉ số: \(\frac{1}{{b - a}} - \int_a^b {f(x)dx} \) được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên [a;b] và được kí hiệu là m(f). Chứng minh rằng tồn tại điểm c ∈ [a; b] sao cho m(f) = f(c)

Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển động thẳng với vận tốc v(t) = t(5 − t) (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.

Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6 m/s. từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây ( kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A.

Tính các tích phân sau:

\(\begin{array}{l}
a)\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}sin2xdx} \\
b)\int_1^2 {x(2{x^2} + 1)dx} \\
c)\int_2^3 {(x - 1){e^{{x^2} - 2x}}dx} 
\end{array}\)

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số y = 4 − x²; y = -x + 2

b) Các đường cong có phương trình x = 4 − 4y² và x = 1 − y⁴ trong miền x ≥ 0.

Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Parabol y = x² − 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm M(3; 5) và trục tung

b) Parabol y = −x² + 4x − 3y và các tiếp tuyến của nó tại các điểm A(0;−3) và B(3;0)

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bơi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ (0 ≤ x ≤ 2) là một nửa hình tròn đường kính \(\sqrt 5 {x^2}\)

Xét hình phẳng giới hạn bởi đường hypebol y = 2/x và các đường thẳng y = 1, y = 4, x = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục tung.

Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm số: \(y = \sqrt {\cos x} \left( {0 \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)\) và hai trục tọa độ. Tính thể tích khối tròn xoay tọa thành khi quay hình đó quay trục tung.

Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình x(y + 1) = 2 và các đường thẳng x = 0, y = 0, y = 3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục tung.

Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình x − y² = 0 và các đường thẳng y = 2, x = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A.

a) Quanh trục hoành;

b) quanh trục tung

Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \(y = {x^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}}\) và các đường thẳng x = , x = 2, y = 0.Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành.

Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình y² = x³ và các đường thẳng y = 0, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A

a) Quanh trục hoành      

b) Quanh trục tung.

Giả sử \(\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}}}  = \ln c\). Giá trị của c là
(A) 9

(B) 3

(C) 81

(D) 8

Giá trị của \(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx} \) là

\(\left( A \right)\,{e^4}\);                \(\left( B \right)\,{e^4} - 1;\)

\(\left( C \right)\,4{e^4};\)                \(\left( D \right)\,3{e^4} - 1;\)

Giá trị của \(\int \limits_{ - 1}^0 {x^2}{\left( {x + 1} \right)^3}dx\) là:

(A) \( - \frac{7}{{10}}\)

(B) \( - \frac{6}{{10}}\)

(C) $$\(\frac{2}{{15}}\)

(D) \(\frac{1}{{60}}\)

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng y = 4x và đồ thị hàm số y = x³ là:

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bới hai đường thẳng \(y = 8x,y = x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) là:

(A) 12$$

(B) 15,75$\mathrm{}$

(C) 6,75$\mathrm{}$

(D) 4

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng y = 2x và đồ thị hàm số y = x² là:

(A) \(\frac{4}{3}\)

(B) \(\frac{3}{2}\)

(C) \(\frac{5}{3}\)

(D) \(\frac{{23}}{{15}}\)

Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm hai số \(y = {x^2}\) và \(y = 6 - \left| x \right|\). Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A xung quanh trục tung:

(A) \(\frac{{32\pi }}{3}\)

(B) \(9\pi \)

(C) \(8\pi \)

(D) \(\frac{{20\pi }}{3}\)

Cho a, b là hai số dương. Gọi K là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai được giới hạn bởi parabol y = ax² và đường thẳng y = −bx. Biết rằng thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay K xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của a và b. Khi đó a và b thỏa mãn điều kiện sau:

(A) \({b^4} = 2{a^5}\)

(B) \({b^3} = 2{a^5}\)

(C) \({b^5} = 2{a^3}\)

(D) \({b^4} = 2{a^2}\)

Tính các tích phân sau:

a) \(\int \limits_0^1 {(y - 1)^2}\sqrt y dy\), đặt \(t = \sqrt y \)

b) \(\int \limits_1^2 ({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}dz\), đặt \(u = \sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}\)

c) \(\int \limits_1^e \frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}dx\)

d) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} ({\cos ^5}\varphi  - {\sin ^5}\varphi )d\varphi \)

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) \(y = x - 1 + \frac{{\ln x}}{x},y = x - 1\) và x = e;

b) \(y = {x^3} - {x^2}\) và \(y = \frac{1}{9}(x - 1)\);

Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi

a) \(y = {x^{\frac{2}{3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(y = {x^{\frac{2}{3}}}\) tại điểm có hoành độ x = 1, quanh trục Oy;

b) \(y = \frac{1}{x} - 1,y = 0,y = 2x\), quanh trục Ox.

c) \(y = \left| {2x - {x^2}} \right|,y = 0\) và x = 3, quanh :

* Trục Ox

* Trục Oy

Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:

a) \(\int \limits_0^1 {x^n}{(1 - x)^m}dx = \int \limits_0^1 {x^m}{(1 - x)^n}dx;m,n \in {N^ * }\)

b) \(\int \limits_{ - 1}^1 \frac{{{t^2}}}{{{e^t} + 1}}dt = \int \limits_0^1 {t^2}dt\)

c) \(\int \limits_0^1 {\sin ^3}x\cos xdx = \int \limits_0^1 {t^3}dt\)

Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)?

A. \(\frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\)      

B. \(\frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\)

C. \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)   

D. \(\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)

Nếu \(\int \limits_a^d f\left( x \right)dx = 5,\int \limits_b^d f\left( x \right)dx = 2\)

với a < d < b thì \(\int \limits_a^b f\left( x \right)dx\) bằng

A. - 2

B. 8

C. 0

D. 3

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\int \limits_0^1 \sin \left( {1 - x} \right)dx = \mathop \smallint \limits_0^1 \sin xdx\)

B. \(\int \limits_0^\pi  \sin \frac{x}{2}dx = 2\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin xdx\)

C. \(\int \limits_0^1 {\left( {1 + x} \right)^x}dx = 0\)

D. \(\int \limits_{ - 1}^1 {x^{2007}}\left( {1 + x} \right)dx = \frac{2}{{2009}}\)

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. \(\int \limits_0^\pi  \left| {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx = \int \limits_0^\pi  \left| {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx\)

B. \(\int \limits_0^\pi  \left| {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx = \int \limits_0^\pi  \left| {\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx\)

C. \(\begin{array}{l}
\int \limits_0^\pi  \left| {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx\\
 = \int \limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)dx - \int \limits_{\frac{{3\pi }}{4}}^\pi  \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)dx
\end{array}\)

D. \(\int \limits_0^\pi  \left| {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx = 2\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)dx\)

\(\int \limits_0^1 x{e^{1 - x}}dx\) bằng

A. 1 - e

B. e - 2

C. 1

D. - 1

Nhờ ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx}  > \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} \)

B. \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}xdx}  < \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \)

C. \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx}  > \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right)}^2}dx} \)

D. \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx}  > \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}dx} \)

Thể tích của khối tròn xoay tạo nên do quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {\left( {1 - x} \right)^2},y = 0\), x = 0 và x = 2 bằng

A. \(\frac{{8\pi \sqrt 2 }}{3}\)             

B. \(\frac{{2\pi }}{5}\)

C. \(\frac{{5\pi }}{2}\)                   

D. \(2\pi \)

\(\int \limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx\) bằng

A. 0

B. 1

C. - 1

D. 2

Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(\int \limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  \frac{{\sin x}}{x}dx < \int \limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  \frac{{\cos x}}{x}dx\)

B. \(\int \limits_{\frac{\pi }{4}}^1 \frac{{\tan x}}{x}dx > \int \limits_{\frac{\pi }{4}}^1 \frac{{\cot x}}{x}dx\)

C. \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin ^4}xdx < \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} dx\)

D. \(\int \limits_1^e \frac{{\ln x}}{x}dx < \int \limits_1^e \frac{{{e^x}}}{x}dx\)

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  y = \tan x,y = 0,x =  - \frac{\pi }{4}\) và \(\displaystyle  x = \frac{\pi }{4}\) bằng

A. \(\displaystyle  \pi \)                         B. \(\displaystyle   - \pi \)

C. \(\displaystyle  \ln 2\)                     D. \(\displaystyle  0\)

Thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục \(\displaystyle  Ox\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  y = {\sin ^{\frac{3}{2}}}x,y = 0,x = 0\) và \(\displaystyle  x = \frac{\pi }{2}\) bằng

A. \(\displaystyle  1\)                       B. \(\displaystyle  \frac{2}{7}\)

C. \(\displaystyle  2\pi \)                    D. \(\displaystyle  \frac{2}{3}\pi \)

Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 5t + 10\left( {m/s} \right)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển bao nhiêu mét?

A. 0,2m

B. 2m

C. 10m

D. 20m