AMBIENT
UREKA

Bài tập 7 trang 127 SGK Giải tích 12

Giải bài 7 tr 127 sách GK Toán GT lớp 12

Xét hình phẳng D giới hạn bởi \(y=2\sqrt{1-x^2}\) và \(y=2(1-x)\)

a) Tính diện tích hình D

b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 7

Câu a:

Xét hàm số: \(y=2\sqrt{1-x^2}\)

Tập xác định: \(D=[-1;1]; y'=\frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\)

Dấu của y' như sau: 

Vì thế đường cong \(y=2\sqrt{1-x^2}\) và đường thẳng \(y=2(1-x)\) được vẽ trong cùng một hệ trục toạ độ Oxy như sau:

Hình D là "miền gạch sọc" trong hình vẽ trên.

Ta có diện tích hình D là:

\(S_D=\int_{0}^{1}\left | 2\sqrt{1-x^2} -2(1-x)\right |dx\)

Ta sẽ chứng minh: \(\sqrt{1-x^2}\geq 1-x \ \ * \ \forall x\in D_1=[0;1]\)

Thật vậy, \(\forall x\in D_1\) thì \(\Leftrightarrow 1-x\geq (1-x^2)\Leftrightarrow 2x^2-2x\leq 0\)

\(\Leftrightarrow x(x-1)\leq 0 \ (**)\)

Bất đẳng thức (**) hiển nhiên đúng \(\forall x\in D_1\)

Vậy (*) đúng \(\forall x\in D_1\). Do (*) nên:

\(S_D=\int_{0}^{1}\left [ 2\sqrt{1-x^2}-2(1-x) \right ]dx\)

\(\Leftrightarrow S_D=2\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}dx-2 \int_{0}^{1}dx+2\int_{0}^{1}x dx\)

\(\Leftrightarrow S_D=2\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}dx-2x \Bigg|^1_0+x^2\Bigg|^1_0\)

\(\Leftrightarrow S_D=2\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}dx-1.\)

Đặt x = sint (với \(t\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\)) ta có:

dx = cos t dt, đổi cận:

Cho nên: \(\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} cos^2 t dt=\int_{0}^{1} \frac{1+cos 2t}{2}dt\)

\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} cos2t dt= \frac{\pi }{4}-\frac{1}{4}sin 2t \Bigg|_{0}^{\frac{\pi }{2}}= \frac{\pi }{4}\)

Vậy: \(S_D=\frac{\pi }{2}-1\)

Câu b:

Gọi V; V1; V2 lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D; hình phẳng giới hạn bởi giới hạn bởi các đường \(y=2\sqrt{1-x^2},y=0,x=0;\) miền tam giác giới hạn bởi các đường \(y=2(1-x),y=0,x=0\) quanh trục Ox, ta có:

\(V=V_1-V_2\)

Ta có: \(V_1=\pi \int_{0}^{1}\left ( 2\sqrt{1-x^2} \right )^2dx= \pi \int_{0}^{1}4(1-x^2)dx\)

\(=4 \pi\int_{0}^{1}dx-4\pi \int_{0}^{1}x^2dx=4\pi x \bigg|_{0}^{1}-\frac{4}{3}\pi x^3\bigg|_{0}^{1}=\frac{8\pi }{3}\)

và: \(V_2=\pi \int _{0}^{1} \left [ 2(1-x) \right ]^2dx= 4\pi \int _{0}^{1}dx-8\pi\int _{0}^{1} x dx+4\pi \int _{0}^{1}x^2dx\)

\(=4\pi x \bigg| _{0}^{1}-4\pi x^2\bigg| _{0}^{1}+\frac{4}{3}\pi x^3\bigg| _{0}^{1} =4\pi-4\pi+\frac{4\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}\)

Do đó: \(V=V_1-V_2=\frac{8\pi}{3}-\frac{4\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\).

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 7 trang 127 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ 

Bài tập SGK khác

Bài tập 5 trang 127 SGK Giải tích 12

Bài tập 6 trang 127 SGK Giải tích 12

Bài tập 1 trang 128 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 128 SGK Giải tích 12

Bài tập 3 trang 128 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 128 SGK Giải tích 12

Bài tập 5 trang 128 SGK Giải tích 12

Bài tập 6 trang 128 SGK Giải tích 12

Bài tập 41 trang 175 SGK Toán 12 NC

Bài tập 42 trang 175 SGK Toán 12 NC

Bài tập 43 trang 176 SGK Toán 12 NC

Bài tập 44 trang 176 SGK Toán 12 NC

Bài tập 45 trang 176 SGK Toán 12 NC

Bài tập 46 trang 176 SGK Toán 12 NC

Bài tập 47 trang 176 SGK Toán 12 NC

Bài tập 48 trang 176 SGK Toán 12 NC

Bài tập 49 trang 176 SGK Toán 12 NC

Bài tập 50 trang 176 SGK Toán 12 NC

Bài tập 51 trang 176 SGK Toán 12 NC

Bài tập 52 trang 177 SGK Toán 12 NC

Bài tập 53 trang 177 SGK Toán 12 NC

Bài tập 54 trang 177 SGK Toán 12 NC

Bài tập 55 trang 177 SGK Toán 12 NC

Bài tập 56 trang 177 SGK Toán 12 NC

Bài tập 57 trang 177 SGK Toán 12 NC

Bài tập 58 trang 177 SGK Toán 12 NC

Bài tập 59 trang 177 SGK Toán 12 NC

Bài tập 3.43 trang 180 SBT Toán 12

Bài tập 3.44 trang 180 SBT Toán 12

Bài tập 3.45 trang 181 SGK Toán 12

Bài tập 3.46 trang 181 SGK Toán 12

Bài tập 3.47 trang 181 SBT Toán 12

Bài tập 3.48 trang 181 SBT Toán 12

Bài tập 3.49 trang 182 SBT Toán 12

Bài tập 3.50 trang 182 SBT Toán 12

Bài tập 3.51 trang 182 SBT Toán 12

Bài tập 3.52 trang 182 SBT Toán 12

Bài tập 3.53 trang 183 SBT Toán 12

Bài tập 3.54 trang 183 SBT Toán 12

Bài tập 3.55 trang 183 SBT Toán 12

Bài tập 3.56 trang 183 SBT Toán 12

Bài tập 3.67 trang 183 SBT Toán 12

Bài tập 3.58 trang 184 SBT Toán 12

Bài tập 3.59 trang 184 SBT Toán 12

Bài tập 3.60 trang 184 SBT Toán 12

Bài tập 60 trang 178 SGK Toán 12 NC

Bài tập 61 trang 178 SGK Toán 12 NC

Bài tập 62 trang 178 SGK Toán 12 NC

Bài tập 63 trang 178 SGK Toán 12 NC

Bài tập 64 trang 178 SGK Toán 12 NC

Bài tập 65 trang 178 SGK Toán 12 NC

Bài tập 66 trang 179 SGK Toán 12 NC

Bài tập 67 trang 179 SGK Toán 12 NC

ADMICRO

 

YOMEDIA
ON