Bài tập 3.44 trang 180 SBT Toán 12
Tính các tích phân sau:
a) \(\int \limits_0^1 {(y - 1)^2}\sqrt y dy\), đặt \(t = \sqrt y \)
b) \(\int \limits_1^2 ({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}dz\), đặt \(u = \sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}\)
c) \(\int \limits_1^e \frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}dx\)
d) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} ({\cos ^5}\varphi - {\sin ^5}\varphi )d\varphi \)
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Đặt \(t = \sqrt y \Rightarrow {t^2} = y \Rightarrow 2tdt = dy\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \int \limits_0^1 {(y - 1)^2}\sqrt y dy = \int \limits_0^1 {\left( {{t^2} - 1} \right)^2}.t.2tdt\\
= 2\int \limits_0^1 {t^2}\left( {{t^4} - 2{t^2} + 1} \right)dt\\
= 2\int \limits_0^1 \left( {{t^6} - 2{t^4} + {t^2}} \right)dt\\
= 2\left. {\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - 2.\frac{{{t^5}}}{5} + \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1\\
= 2\left( {\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{16}}{{105}}
\end{array}\)
b) Đặt \(u = \sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}} \Rightarrow {u^3} = {\left( {z - 1} \right)^2}\)
\( \Rightarrow z = 1 + {u^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow dz = \frac{3}{2}{u^{\frac{1}{2}}}du\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \int \limits_1^2 ({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}dz\\
= \int \limits_0^1 \left[ {{{\left( {1 + {u^{\frac{3}{2}}}} \right)}^2} + 1} \right].u.\frac{3}{2}{u^{\frac{1}{2}}}du\\
= \frac{3}{2}\int \limits_0^1 {u^{\frac{3}{2}}}\left( {2 + 2{u^{\frac{3}{2}}} + {u^3}} \right)du\\
= \frac{3}{2}\int \limits_0^1 \left( {2{u^{\frac{3}{2}}} + 2{u^3} + {u^{\frac{9}{2}}}} \right)du\\
= \frac{3}{2}\left. {\left( {2.\frac{2}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + 2.\frac{{{u^4}}}{4} + \frac{2}{{11}}{u^{\frac{{11}}{2}}}} \right)} \right|_0^1\\
= \frac{3}{2}\left( {\frac{4}{5} + \frac{1}{2} + \frac{2}{{11}}} \right) = \frac{{489}}{{220}}
\end{array}\)
c) Đặt \(t = \sqrt {4 + 5\ln x} \Rightarrow {t^2} = 4 + 5\ln x\)
\( \Rightarrow 2tdt = \frac{5}{x}dx \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{2}{5}tdt\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \int \limits_1^e \frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}dx = \int \limits_2^3 t.\frac{2}{5}tdt\\
= \frac{2}{5}\int\limits_2^3 {{t^2}dt} = \frac{2}{5}.\left. {\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_2^3\\
= \frac{2}{5}\left( {\frac{{27}}{3} - \frac{8}{3}} \right) = \frac{{38}}{{15}}
\end{array}\)
d) Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^5}\) xác định và liên tục trên R.
Khi đó \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin \varphi } \right)d\varphi = \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\cos \varphi } \right)d\varphi \)
Hay \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin ^5}\varphi d\varphi = \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos ^5}\varphi d\varphi \)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos ^5}\varphi d\varphi - \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin ^5}\varphi d\varphi = 0\\
\Rightarrow \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {{{\cos }^5}\varphi - {{\sin }^5}\varphi } \right)d\varphi = 0
\end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Tính tích phân: \(\displaystyle\int_1^2 {{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} \over {{x^2}}}} dx\).
bởi Nguyen Dat 06/05/2021
Tính tích phân: \(\displaystyle\int_1^2 {{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} \over {{x^2}}}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân: \(\displaystyle\int_{ - 1}^1 {|{2^x}} - {2^{ - x}}|dx\).
bởi Nguyễn Thị Thanh 05/05/2021
Tính tích phân: \(\displaystyle\int_{ - 1}^1 {|{2^x}} - {2^{ - x}}|dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân: \(\displaystyle\int_0^{{\pi \over 2}} {\cos 2x\sin ^2} xdx\).
bởi Anh Trần 06/05/2021
Tính tích phân: \(\displaystyle\int_0^{{\pi \over 2}} {\cos 2x\sin ^2} xdx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int_0^\pi {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx\).
bởi Lê Nhi 06/05/2021
Tính tích phân sau: \(\int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx\).
bởi Nguyễn Thị Trang 05/05/2021
Tính tích phân sau: \(\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\displaystyle\int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx\).
bởi thanh hằng 05/05/2021
Tính tích phân sau: \(\displaystyle\int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời
Bài tập SGK khác
Bài tập 3.43 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.45 trang 181 SBT Toán 12
Bài tập 3.46 trang 181 SBT Toán 12
Bài tập 3.47 trang 181 SBT Toán 12
Bài tập 3.48 trang 181 SBT Toán 12
Bài tập 3.49 trang 182 SBT Toán 12
Bài tập 3.50 trang 182 SBT Toán 12
Bài tập 3.51 trang 182 SBT Toán 12
Bài tập 3.52 trang 182 SBT Toán 12
Bài tập 3.53 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.54 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.55 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.56 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.67 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.58 trang 184 SBT Toán 12