YOMEDIA
NONE
Trang chủ Toán 12

Bài tập 1.12 trang 18 BT Hình học 12

Lý thuyết10 Trắc nghiệm

25 BT SGK

585 FAQ

Giải bài 1.12 tr 18 SBT Hình học 12

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.

a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE

b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot SA\\
BC \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\)

Vì \(AD \subset (SAB)\) nên \(AD \bot BC\)

Mặt khác \(AD \bot SB\) nên \(AD \bot (SBC)\)

Từ đó suy ra \(AD \bot SC\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SC \bot AE}\\
{SC \bot AD}
\end{array}} \right. \Rightarrow SC \bot (ADE) \)

\(\Rightarrow SC \bot DE\) hay \(SE \bot (ADE)\)

Trong tam giác vuông SAB ta có: 

\(SA.AB = AD.SB \)

\(\Rightarrow AD = \frac{{AB.SA}}{{SB}} = \frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

Tương tự, trong tam giác vuông SAC ta có: \(AE = \frac{{SA.AC}}{{SC}} = \frac{{c\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Do \(AD \bot (SBC)\) nên \(AD \bot DE\). Từ đó suy ra:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
DE = \sqrt {A{E^2} - A{D^2}} \\
 = \sqrt {\frac{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} - \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}}} 
\end{array}\\
{ = \frac{{{c^2}b}}{{\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}}  = \sqrt {{c^2} - \frac{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \\
 = \frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}
\end{array}\)

Vậy

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{V_{S.ADE}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AD.DE.SE\\
 = \frac{1}{6}\frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\frac{{{c^2}b}}{{\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.\frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}
\end{array}\\
{ = \frac{{ab{c^5}}}{{6({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})}}}
\end{array}\)

b) Gọi d là khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)

Ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} - A{D^2}}  \)

\(= \sqrt {{c^2} - \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}}}  = \frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{V_{S.ADE}} = {V_{E.SAD}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}SD.AD.d\\
 = \frac{1}{6}.\frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.d
\end{array}\\
{ = \frac{1}{6}.\frac{{a{c^3}}}{{{a^2} + {c^2}}}.d}
\end{array}\)

Kết hợp với kết quả trong câu a ta suy ra \(d = \frac{{b{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\).

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 1.12 trang 18 BT Hình học 12 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

Bài tập SGK khác

Bài tập 1.10 trang 18 SBT Hình học 12

Bài tập 1.11 trang 18 SBT Hình học 12

Bài tập 1.13 trang 18 SBT Hình học 12

Bài tập 1.14 trang 18 SBT Hình học 12

Bài tập 1.15 trang 19 SBT Hình học 12

Bài tập 1.16 trang 19 SBT Hình học 12

Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12

Bài tập 15 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 16 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 17 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 18 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 19 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 21 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 22 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 23 trang 29 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 24 trang 29 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 25 trang 29 SGK Hình học 12 NC

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF