YOMEDIA
NONE

Bài tập 1.12 trang 18 BT Hình học 12

Giải bài 1.12 tr 18 SBT Hình học 12

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.

a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE

b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).

ATNETWORK

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot SA\\
BC \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\)

Vì \(AD \subset (SAB)\) nên \(AD \bot BC\)

Mặt khác \(AD \bot SB\) nên \(AD \bot (SBC)\)

Từ đó suy ra \(AD \bot SC\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SC \bot AE}\\
{SC \bot AD}
\end{array}} \right. \Rightarrow SC \bot (ADE) \)

\(\Rightarrow SC \bot DE\) hay \(SE \bot (ADE)\)

Trong tam giác vuông SAB ta có: 

\(SA.AB = AD.SB \)

\(\Rightarrow AD = \frac{{AB.SA}}{{SB}} = \frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

Tương tự, trong tam giác vuông SAC ta có: \(AE = \frac{{SA.AC}}{{SC}} = \frac{{c\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Do \(AD \bot (SBC)\) nên \(AD \bot DE\). Từ đó suy ra:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
DE = \sqrt {A{E^2} - A{D^2}} \\
 = \sqrt {\frac{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} - \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}}} 
\end{array}\\
{ = \frac{{{c^2}b}}{{\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}}  = \sqrt {{c^2} - \frac{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \\
 = \frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}
\end{array}\)

Vậy

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{V_{S.ADE}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AD.DE.SE\\
 = \frac{1}{6}\frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\frac{{{c^2}b}}{{\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.\frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}
\end{array}\\
{ = \frac{{ab{c^5}}}{{6({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})}}}
\end{array}\)

b) Gọi d là khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)

Ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} - A{D^2}}  \)

\(= \sqrt {{c^2} - \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}}}  = \frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{V_{S.ADE}} = {V_{E.SAD}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}SD.AD.d\\
 = \frac{1}{6}.\frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.d
\end{array}\\
{ = \frac{1}{6}.\frac{{a{c^3}}}{{{a^2} + {c^2}}}.d}
\end{array}\)

Kết hợp với kết quả trong câu a ta suy ra \(d = \frac{{b{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\).

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 1.12 trang 18 BT Hình học 12 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA
AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON