ON
YOMEDIA
VIDEO_3D

Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12

Giải bài 1.17 tr 19 SBT Hình học 12

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′).

VDO.AI

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

Trong (A′B′C′D′), gọi I, J lần lượt là giao điểm của EF với A′B′ và A′D′.

Trong (ADD′A′), gọi \(M = AJ \cap D'D\).

Trong (ABB′A′), gọi \(L = AI \cap BB'\).

Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi (AEF) là ngũ giác AMFEL.

Khi đó (H) là khối đa diện chứ đỉnh A′ và:

\({V_{\left( H \right)}} = {V_{A.A'IJ}} - {V_{M.D'JF}} - {V_{L.B'IE}}\).

Gọi V0 là thể tích khối tứ diệnA.A′IJ, V là thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′.

Vì EB′ = EC′ và B′I // C′F 

Nên \(IB' = FC' = \frac{{A'B'}}{2}\)

Do đó \(\frac{{IB'}}{{IA'}} = \frac{1}{3}\) 

Mà BE′ // A′J, B′L // AA′ 

\( \Rightarrow \frac{{IL}}{{IA}} = \frac{{IE}}{{IJ}} = \frac{{IB'}}{{IA'}} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_{I.ELB'}}}}{{{V_{I.JAA'}}}} = \frac{{IL}}{{IA}}.\frac{{IE}}{{IJ}}.\frac{{LE}}{{AJ}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{27}}\)

Do đó \({V_{I.ELB'}} = \frac{1}{{27}}{V_0}\)

Tương tự \({V_{J.MFD'}} = \frac{1}{{27}}{V_0}\)

Gọi A′B′ = a ,B′C′ = b, đường cao hạ từ A xuống (A′B′C′D′) là h thì:

\(IA' = \frac{3}{2}A'B' = \frac{{3a}}{2}\);

\(A'J = \frac{3}{2}A'D' = \frac{{3b}}{2}\) và

\(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{A'B'C'D'}}h \)

\(= abh.\sin \widehat {B'A'D'}\)

\({V_0} = \frac{1}{3}{S_{A'IJ}}.h \)

\(= \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}.\frac{{3a}}{2}.\frac{{3b}}{2}sin\widehat {B'A'D'}} \right)h \)

\(= \frac{3}{8}abh.\sin \widehat {B'A'D'}\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_0}}}{V} = \frac{3}{8} \Rightarrow {V_0} = \frac{{3V}}{8}\)

Vậy \({V_{(H)}} = {V_0} - \frac{2}{{27}}{V_0} = \frac{{25}}{{27}}{V_0} = \frac{{25}}{{27}}.\frac{{3V}}{8} = \frac{{25}}{{72}}V\)

\({V_{(H')}} = V - {V_{\left( H \right)}} = \frac{{47}}{{72}}V \Rightarrow \frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}} = \frac{{25}}{{47}}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12 HAY thì click chia sẻ 
AMBIENT

 

AMBIENT
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_bg] => 
            [banner_picture] => 809_1633914298.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://kids.hoc247.vn/ma-tk-vip/?utm_source=hoc247net&utm_medium=PopUp&utm_campaign=Hoc247Net
            [banner_startdate] => 2021-09-01 00:00:00
            [banner_enddate] => 2021-10-31 23:59:59
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)