Ôn tập chương I - Đại số và Giải tích 11

15 trắc nghiệm 10 bài tập SGK 25 hỏi đáp

Nội dung bài ôn tập Chương Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ nội dung đã học trong chương 1 thông qua sơ đồ hệ thống hóa kiến thức và các bài tập ở mức độ khó cao hơn. Bên cạnh đó thông qua nội dung bài học, các em sẽ được tìm hiểu thêm một số dạng phương trình lượng giác đặc trưng không được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11.

Tóm tắt lý thuyết

1. Hệ thống hóa kiến thức chương Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác

2. Một số dạng phương trình lượng giác đặc trưng khác và phương pháp giải

a) Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

\(a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d{\rm{  (1) }}\)

(a, b, c, d: có ít nhất 2 hệ số khác không)

Phương pháp giải:

  • Cách 1:

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không

Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0\)  \(\left( {1'} \right)\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {1'} \right)\) trở thành: \((a - d){t^2} + bt + c - d = 0{\rm{   (2)}}\)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x  theo \(t = \tan x\)

  • Cách 2: Sử dụng các công thức

 \({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\); \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\); \(\sin x\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}\)

Phương trình (1) trở thành:

\(a\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right) + b\frac{{\sin 2x}}{2} + c\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right) = d\)

\( \Leftrightarrow b\sin 2x + (c - a)\cos 2x = 2d - a - c\)

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.

b) Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

\(a\sin {}^3x + b{\sin ^2}x\cos x + c\sin x{\cos ^2}x + d\sin x + e\cos x + fc{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x = 0{\rm{    (1)  }}\)

(a, b, c, d, e, f: có ít nhất 2 hệ số khác không).

Phương pháp giải:

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)có là nghiệm của (1) hay không

Xét\(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^3}x\)  ta được:

\(a{\tan ^3}x + b{\tan ^2}x + c\tan x + d\tan x(1 + {\tan ^2}x) + e(1 + {\tan ^2}x) + f = 0\)

\( \Leftrightarrow (a + d){\tan ^3}x + (b + e){\tan ^2}x + (c + d)\tan x + e + f = 0\) \(\left( {{\rm{1'}}} \right)\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {{\rm{1'}}} \right)\) trở thành:

\((a + d){{\mathop{\rm t}\nolimits} ^3} + (b + e){{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + (c + d){\mathop{\rm t}\nolimits}  + e + f = 0\)   (2)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo \(t = \tan x\)

c) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

  • Dạng 1: \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\)

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)    (*)

Suy ra  \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} + 2at + 2c - b = 0\)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiên (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x

Chú ý: Ta cũng có thể đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và làm tương tự như trên.

  • Dạng 2: \(a\left( {\sin x - \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\)

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\)

Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)    (*)

Suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} - 2at - 2c - b = 0\)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiện  (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x

d) Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx

  1. Dạng 1: \(a({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) + b(\tan x + \cot x) + c = 0\)

Phương pháp giải

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)

Đặt \(t = \tan x + \cot x\), điều kiện \(\left| t \right| \ge 2\)

Suy ra \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\)

Phương trình trở thành:

\(a({t^2} - 2) + bt + c = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c - 2a = 0\)

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (*), suy ra t

Giải phương trình \(\tan x + \cot x = t\)

Cách 1:

Ta có \(\tan x + \frac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x - t.\tan x + 1 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai theo tanx

Cách 2:

Ta có: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{2}{t}\)

Đây là phương trình cơ bản của sin2x

  1. Dạng 2: \(a({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) + b(\tan x - \cot x) + c = 0\)

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)

Đặt  \(t = \tan x - \cot x\). Khi đó \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2\)

Phương trình trở thành:

\(a({t^2} + 2) + bt + c = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c + 2a = 0\)

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có), suy ra t

Giải phương trình \(\tan x - \cot x = t\)

Cách 1:

Ta có \(\tan x - \frac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x - t\tan x - 1 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai theo tanx

Cách 2:

Ta có: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = t \Leftrightarrow \cot 2x =  - \frac{t}{2}\)

Đây là phương trình cơ bản của cot2x.

Bài tập minh họa

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 

Bài tập:

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x - \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)

d) \(\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 - \sin 7x\sin 5x\)

e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Khi đó (1)\( \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + \sin x} \right) + {\cos ^2}x = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin x + 1 = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)\left( {\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

So sánh với điều kiện (*) ta được nghiệm của (1) là \(x = k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)

Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ne  \pm 1\) (*)

Khi đó (2)\( \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\sin x\cos x}}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 4x\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 4x \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0\)

Đặt: \(t = \cos 2x,t \in \left( { - 1;1} \right)\)

Bất phương trình trở thành: \(2{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1\,(loai){\rm{   }}}\\{t =  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Với \(\cos 2x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \), \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x - \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \sin 2x - \frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 - \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2} = \sin 2x - \frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 3 = 0\)

Đặt \(t = \sin 2x,t \in \left[ { - 1;1} \right],\) Bất phương trình trở thành:

\({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 3\,(loai)\end{array} \right.\)

Với \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (3) là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

d) \(\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 - \sin 7x\sin 5x\)

\( \Leftrightarrow \left( {\cos 7x\cos 5x + \sin 7x\sin 5x} \right) - \sqrt 3 \sin 2x = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi {\rm{         }}}\\{x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array},} \right.{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Vậy nghiệm của (4) là \(x = k\pi \), \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{(1 - \cos 2x)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left[ {1 + \cos (2x + \frac{\pi }{2})} \right]}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow {(1 - \cos 2x)^2} + {(1 - \sin 2x)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (5) là \(x = k\pi \), \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

Lời kết

Nội dung bài ôn tập chương I Đại số và Giải tích 11 đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung đã học, đồng thời được tìm hiểu thêm một số bài toán mới. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung chương I. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247