Tìm K biết K là tập hợp tất cả các giá trị của m... có đúng 2 nghiệm?

Mọi người giúp mình câu này với! Mình cảm ơn!

Gọi K là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin2x + \(\sqrt{2}\)sin(x+\(\dfrac{\pi}{4}\)) - 2 = m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng (0;\(\dfrac{3\pi}{4}\)). Tìm K ??

Theo dõi Vi phạm

Trả lời (1)

Bài giả của bạn Bùi Thị Vân có nhầm lẫn, đáp số bạn Vân đưa ra là \(\dfrac{-5+\sqrt{2}}{2}< m< 0\). Có thể thấy \(m=-1\) thuộc khoảng \(\left(\dfrac{-5+\sqrt{2}}{2};0\right)\) nhưng với \(m=-1\) thì phương trình \(t^2+t-3=m\Leftrightarrow t^2+t-3=-1\)\(\Leftrightarrow t=1;t=-2\). Phương trình đã cho tương đương với \(\sin x+\cos x=1\Leftrightarrow\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Đặt \(y=x+\dfrac{\pi}{4}\) thì \(\dfrac{\pi}{4}< y< \pi\) (do \(x\in\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\)) và phương trình trở thành \(\sin y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Trong khoảng \(\dfrac{\pi}{4}< y< \pi\)phương trình \(\sin y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) có nghiệm duy nhất \(y=\dfrac{3\pi}{4}\) nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{\pi}{2}\) (chứ không phải là có đúng hai nghiệm như yêu cầu đề bài). Xin sửa lại bài giải như sau:

- Đặt \(t=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin x+\cos x\right)\) thì \(t\sqrt{2}=\sin x+\cos x\Rightarrow2t^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x\) nên \(\sin2x=2t^2-1\), phương trình đã cho trở thành \(2t^2-1+\sqrt{2}t-2=m\Leftrightarrow2t^2+\sqrt{2}t-3=m\) (1)

-Vì phương trình đã cho được xét trong khoảng \(\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\) tức là \(x+\dfrac{\pi}{4}\in\left(\dfrac{\pi}{4};\pi\right)\) suy ra \(t=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\in(0;1]\). Do đó để phương trình đã cho có nghiệm \(x\in\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\), điều kiện cần và đủ là (1) có nghiệm \(t\in(0;1]\), tức là số \(m\) phải thuộc tập giá trị của hàm số \(f\left(t\right)=2t^2+\sqrt{2}t-3\) với \(t\in(0;1]\). Ta có \(f'\left(t\right)=4t+\sqrt{2}>0,\)\(\forall t\in(0;1]\) nên \(f\left(t\right)\)đồng biến trong khoảng \(t\in(0;1]\) và tập giá trị của nó là khoảng \((f\left(0\right);f\left(1\right)]=(-3;\sqrt{2}-1]\). Như vậy điều kiện cần để yêu cầu bài toán được thực hiện là \(m\in(-3;\sqrt{2}-1]\).

- Với \(m\in(-3;\sqrt{2}-1]\), chú ý rằng \(f\left(t\right)\) đồng biến trong khoảng \(t\in(0;1]\) nên (1) có nghiệm duy nhất \(t_0\in(0;1]\) và phương trình đã cho tương đương với \(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=t_0\) (2). Ta cần đếm số nghiệm của (2) trong khoảng \(\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\). Để làm điều đó, ta đặt \(y=x+\dfrac{\pi}{4}\Leftrightarrow x=y-\dfrac{\pi}{4}\) thì (2) trở thành \(\sin y=t_0\) và \(y\in\left(\dfrac{\pi}{4};\pi\right)\).

Hình trên biểu diễn đồ thị hàm số \(y=\sin x\) với \(x\in(\dfrac{\pi}{4};\pi]\). Ta thấy phương trình \(\sin y=t_0\) có 2 nghiệm trong khoảng này khi và chỉ khi \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}< t_0< 1\), tức là \(m\) phải thuộc tập giá trị của hàm số \(f\left(t\right)=2t^2+\sqrt{2}t-3\) với

\(t\in\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};1\right)\), điều này xảy ra khi và chỉ khi \(f\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)< m< f\left(1\right)\Leftrightarrow-1< m< \sqrt{2}-1\).

Đáp số: \(-1< m< \sqrt{2}-1\).

Chú ý: Bài toán này có thể giải không dùng đạo hàm. Các bạn thử tìm một cách giải như vậy.

bởi trương văn nam 24/10/2018

Like (0) Báo cáo sai phạm