Bài tập 5 trang 68 SGK Hình học 12

Phương pháp:

Cách 1:

Phương trình mặt cầu dạng \(x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0\), điều kiện \(A^2+B^2+C^2-D> 0\).

Khi đó, mặt cầu có tâm \(I(A;B;C)\), bán kính \(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)

Cách 2:

Đưa phương trình về dạng \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\). Khi đó mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R.

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b bài 5 như sau:

Câu a:

Cách 1:

Xét phương trình: \(\small x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 2y + 1 = 0\) có dạng:

\(x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0\)

Với: \(\left\{ \begin{array}{l} A = 4\\ B = 1\\ C = 0\\ D = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} - D = 16 > 0\)

Suy ra đây là phương trình mặt cầu có tâm I(4; 1; 0) và có bán kính R = 4.

Cách 2:

Ta có phương trình : x² + y² + z² – 8x - 2y + 1 = 0 

⇔ (x² - 8x + 16) + (y² - 2y + 1) +z² = 16 +1 - 1

⇔  (x – 4)² + (y – 1)² + z² = 4²

Đây là mặt cầu tâm I(4; 1; 0) và có bán kính r = 4.

Câu b:

Cách 1:

Xét phương trình: \(\small 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x + 8y + 15z - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2x+\frac{8}{3}y+5z-1=0\) có dạng:

\(x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0\)

Với: \(\left\{ \begin{array}{l} A = 1\\ B = - \frac{4}{3}\\ C = - \frac{5}{2}\\ D = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} - D = \frac{{361}}{{36}} > 0\)

Suy ra đây là phương trình mặt cầu có tâm  \(I(1; -\frac{4}{3};-\frac{5}{2})\) và có bán kính là R = \(\frac{{19}}{6}\).

Cách 2:

3x² + 3y² + 3z² – 6x + 8y + 15z – 3 = 0

⇔  x² + y² + z² – 2x + \(\frac{8}{3}\)y + 5z – 1 = 0

⇔\((x-1)^{2}+(y+\frac{4}{3})^{2}+(z+\frac{5}{2})^{2} -1-\frac{16}{9}-\frac{25}{4}-1=0\)

⇔ \((x-1)^{2}+(y+\frac{4}{3})^{2}+(z+\frac{5}{2})^{2}= \frac{361}{36}=\frac{19^2}{6^2}\).

Đây là mặt cầu tâm \(I(1; -\frac{4}{3};-\frac{5}{2})\) và có bán kính là R = \(\frac{{19}}{6}\).

-- Mod Toán 12 HỌC247

Video hướng dẫn giải bài 5 SGK