ON
ADMICRO
VIDEO_3D

Bài tập 11 trang 81 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 11 trang 81 SGK Hình học 12 NC

Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A

VDO.AI

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) Ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = ( - 1;1;0),\overrightarrow {AC}  = ( - 1;0;1),\\
\overrightarrow {AD}  = ( - 3;1; - 2)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&1
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 1}\\
1&{ - 1}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1\\
{ - 1}&0
\end{array}} \right|} \right)\\
 = \left( { - 3;1; - 2} \right)
\end{array}\\
{ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  =  - 3.1 + 1.1 - 2.1 =  - 4 \ne 0}
\end{array}\)

Do đó 3 vecto \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {CD}  = \left( { - 2;1; - 3} \right),\overrightarrow {BD}  = \left( { - 2;0; - 2} \right),\\
\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 1;1} \right)
\end{array}\)

Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\\
 = \frac{{|2 + 1 + 0|}}{{\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{14}}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\cos \beta  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right)} \right|\\
 = \frac{{|2 + 0 - 2|}}{{\sqrt 2 .\sqrt 8 }} = 0 \Rightarrow AC \bot BD
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\cos \gamma  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC} } \right)} \right|\\
 = \frac{{|0 - 1 - 2|}}{{\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{14}}
\end{array}
\end{array}\)

c) Thể tích của tứ diện ABCD là: 

\(V = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}| - 4| = \frac{2}{3}\)

Gọi hA là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Ta có:

\(\begin{array}{l}
V = \frac{1}{3}{h_A}.{S_{BCD}} \Rightarrow {h_A} = \frac{{3V}}{{{S_{BCD}}}}\\
{S_{BCD}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = \sqrt 3 \\
 \Rightarrow {h_A} = \frac{{3.\frac{2}{3}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 11 trang 81 SGK Hình học 12 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_bg] => 
            [banner_picture] => 809_1633914298.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://kids.hoc247.vn/ma-tk-vip/?utm_source=hoc247net&utm_medium=PopUp&utm_campaign=Hoc247Net
            [banner_startdate] => 2021-09-01 00:00:00
            [banner_enddate] => 2021-10-31 23:59:59
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)