Toán 12 Bài 1: Số phức

Lý thuyết10 Trắc nghiệm29 BT SGK 263 FAQ

Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.

YOMEDIA

1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Các khái niệm về số phức

2.2. Một số tính chất cần lưu ý của số phức

3. Bài tập minh hoạ

4. Luyện tập Bài 1 Chương 4 Toán 12

4.1. Trắc nghiệm

4.2. Bài tập SGK

5. Hỏi đáp về bài 1 Chương 4 Toán 12

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Các khái niệm về số phức

- Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb{R}\) và \(i^2=-1\)).

- Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)

- Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.

- Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow {OM} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

- Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a - bi.\)

2.2. Một số tính chất cần lưu ý của số phức

- Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}.\)

- Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb{R}\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).

- Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.

- Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb{R})\) gọi là dạng đại số của số phức.

- Ta có:

+ \(\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|\).

+ \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.

+ \(z = - \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm số thực x, y thỏa mãn:

a) \(5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i.\)

b) \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l} 5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i\\ \Leftrightarrow (3x + y) + 5xi = (2y - 1) + (x - y)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 2y - 1\\ 5x = x - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{7}.\\ y = \frac{4}{7}. \end{array} \right. \end{array}\)

Ta có: \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\) khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x + 2y = 4x - y - 3}\\ {2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2} \end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y = 3}\\ {x - 5y = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{9}{{11}}}\\ {y = \frac{4}{{11}}} \end{array}} \right.\)

Ví dụ 2:

Tìm số phức z biết:

a) \(\left| z \right| = 5\) và \(z = \overline z\).

b) \(\left| z \right| = 4\) và \(z = -\overline z.\)

c) \(\left| z \right| = 6\) và phần thực của số phức z bằng ba lần phần ảo của z.

Lời giải:

Gọi số phức z cần tìm là \(z=x+yi\) suy ra: \(\overline z = x - yi\)

a) Ta có: \(z = \overline z\) nên \(x + yi = x - yi \Leftrightarrow 2yi = 0 \Leftrightarrow y = 0.\)

Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2}} = 5 \Leftrightarrow x = \pm 5.\)

Vậy số phức cần tìm là z=5; z=-5.

b) Ta có: \(z = -\overline z\) nên \(x + yi = -x + yi \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x= 0.\)

Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{y^2}} = 4 \Leftrightarrow y = \pm 4.\)

Vậy số phức z cần tìm là z=4i; z=-4i.

c) Phần thực của số phức z là x và phần ảo là y nên x=3y. Do đó ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {\left( {3y} \right)^2} + {y^2} = 36 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {y^2} = \frac{{18}}{5} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = \frac{{9\sqrt {10} }}{5}\\ y = - \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} \end{array} \right. \end{array}\)

vậy ta có \(z = \frac{{9\sqrt {10} }}{5} + \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i;\,\,z = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} - \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i.\)

4. Luyện tập Bài 1 Chương 4 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Cho số phức \(z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right)\), mệnh đề nào sau đây là sai?
- A. Đối với số phức z, a là phần thực.
- B. Điểm \(M\left( {a,b} \right)\) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng phức được gọi là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\).
- C. Đối với số phức z, bi là phần ảo.
- D. Số i được gọi là đơn vị ảo.
Câu 2:
Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.
- A. \(M\left( {5; - 3} \right)\)
- B. \(N\left( { - 3;5} \right)\)
- C. \(P\left( { - 5;3} \right)\)
- D. \(Q\left( {3; - 5} \right)\)
Câu 3:
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
- A. Số phức \(z=a+bi\) được biểu diễn bằng điểm M(a;b) trong mặt phẳng phức Oxy
- B. Số phức \(z=a+bi\) có môđun là \(\sqrt {{a^2} + {b^2}}\)
- C. Số phức \(z=a+bi\) thì a=0 và b=0
- D. Số phức \(z=a+bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z = - a - bi\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 133 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 133 SGK Giải tích 12

Bài tập 3 trang 134 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 134 SGK Giải tích 12

Bài tập 5 trang 134 SGK Giải tích 12

Bài tập 6 trang 134 SGK Giải tích 12

Bài tập 4.1 trang 198 SBT Toán 12

Bài tập 4.2 trang 198 SBT Toán 12

Bài tập 4.3 trang 199 SBT Toán 12

Bài tập 4.4 trang 199 SBT Toán 12

Bài tập 4.5 trang 199 SBT Toán 12

Bài tập 4.6 trang 199 SBT Toán 12