YOMEDIA
NONE

Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức


Tương tự với số thực, ta cũng có thể thực hiện các phép tính thông thường trên tập số phức. Bài học này sẽ giới thiệu đến các em qui tắc cộng, trừ nhân số phức. Các em cần nắm vững những qui tắc này để làm cơ sở cho việc giải những bài toán liên quan đến số phức.

ATNETWORK
YOMEDIA
 

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức

- Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

+ \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)

+ \(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i\)

+ \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\) 

2.2. Nhận xét 

- Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\)

- Với mọi \(z,z'\in\mathbb{C}\):

+ \(z + \overline z = 2a\) (với \(z = a + bi\))        

+ \(\overline {z + z'}  = \overline z  + \overline {z'} \)  

+ \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}\)

+ \(\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|\)     

+ \(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)       

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)

Lời giải:

\(z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)

\({z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

\(\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

\({\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i\)

\(1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i\)

Ví dụ 2:

Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức \(z\) biết: \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right).\)

Lời giải: 

Ta có: 

\(\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 - i\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng \(-\sqrt2\).

Môđun: \(\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)

Ví dụ 3: 

Tìm số phức \(z\) biết \((2z - i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.\)

Lời giải:

Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a - bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:

\((2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) = 2 - 2i\)

\(\Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 3b = 2\\ a + b - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.\)

Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)

Ví dụ 4: 

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z - 1 + i} \right|=2.\)

Lời giải:

Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: \(z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i\)

\(\left| {z - 1 + i} \right|=2\) suy ra: \(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.

4. Luyện tập Bài 2 Chương 4 Toán 12

Tương tự với số thực, ta cũng có thể thực hiện các phép tính thông thường trên tập số phức. Bài học này sẽ giới thiệu đến các em qui tắc cộng, trừ và nhân số phức. Các em cần nắm vững những qui tắc này để làm cơ sở cho việc giải những bài toán liên quan đến số phức.

4.1 Trắc nghiệm

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 135 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 136 SGK Giải tích 12

Bài tập 3 trang 136 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 136 SGK Giải tích 12

Bài tập 5 trang 136 SGK Giải tích 12

Bài tập 4.8 trang 201 SBT Toán 12

Bài tập 4.9 trang 201 SBT Toán 12

Bài tập 4.10 trang 201 SBT Toán 12

Bài tập 4.11 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.12 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.13 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.14 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.15 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.16 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.17 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.18 trang 202 SBT Toán 12

5. Hỏi đáp về Bài 2 Chương 4 Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 12 HỌC247

NONE
AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON