Bài tập 8 trang 190 SGK Toán 12 NC

s) Nếu z = a + bi (a, b ∈ R) thì \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\vec u\) biểu diễn số phức z thì \(\vec u\) = (a; b) và |\(\vec u\)| = \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) do đó |\(\vec u\)| = |z|

Nếu A₁, A₂ theo thứ tự biểu diễn các số phức z₁; z₂ thì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = \overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {O{A_1}} \) biểu diễn z₂ - z₁ nên \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|\)

b) \(z = a + bi;z\prime  = a\prime  + b\prime i\) thì 

\(|z{|^2} = {a^2} + {b^2};|z'{|^2} = {a^{\prime 2}} + {b^{\prime 2}}\) nên 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
|z.z\prime {|^2} = {(aa\prime  - bb\prime )^2} + {(ab\prime  + a\prime b)^2}\\
 = {(aa\prime )^2} + {(bb\prime )^2} + {(ab\prime )^2} + {(a\prime b)^2}
\end{array}\\
{ = ({a^2} + {b^2})(a{\prime ^2} + b{\prime ^2}) = |z{|^2}.|z\prime {|^2}}\\
{ \Rightarrow |zz\prime | = |z|.|z\prime |}
\end{array}\)

Khi z ≠ 0 ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \left| {\frac{{z'.\bar z}}{{|z{|^2}}}} \right| = \frac{1}{{|z{|^2}}}.|z'.\bar z|}\\
\begin{array}{l}
 = \frac{1}{{|z{|^2}}}|z'|.|\bar z|\\
 = \frac{1}{{|z{|^2}}}|z'|.|z| = \frac{{|z'|}}{{|z|}}
\end{array}
\end{array}\)

c) Giả sử \(\vec u\) biểu diễn z và \(\vec u'\) biểu diễn z' thì  \(\vec u\) +  \(\vec u'\) biểu diễn z + z'.

Ta có: 

\(|\overrightarrow u  + \overrightarrow {u'} | = |z + z'|;|\overrightarrow u | = |z|;|\overrightarrow {u'} | = |z'|\)

Mà \(|\overrightarrow u  + \overrightarrow v | \le |\overrightarrow u | + |\overrightarrow v |\) nên \(|z + z'| \le |z| + |z'|\)

Dâu "=" xảy ra khi z = 0 hoặc z ' = 0.

-- Mod Toán 12 HỌC247