Bài tập 14 trang 191 SGK Toán 12 NC

a) Ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{{z + i}}{{z - i}} = \frac{{x + (y + 1)i}}{{x + (y - 1)i}}\\
 = \frac{{[x + (y + 1)i][x - (y - 1)i]}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}
\end{array}\\
{ = \frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}} + \frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}i}
\end{array}\)

Vậy phần thực là \(\frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\), phần ảo là \(\frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\)

b) Với z khác i, \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{{x^2} + {y^2} - 1 > 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{{y^2} > 1}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y > 1}\\
{y <  - 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Vậy quỹ tích là trục ảo bỏ đoạn thẳng nối I, J (I biểu diễn i và J biểu diễn −i).

-- Mod Toán 12 HỌC247