Giải tích 12 Chương 1 Bài 2 Cực trị của hàm số

5 trắc nghiệm 6 bài tập SGK 61 hỏi đáp

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được hai khái niệm quan trọng của Cực trị hàm sốCực đạiCực tiểu, cùng với đó là điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đên cực trị của hàm số.

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa 

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\):

  • Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) nếu \(f(x_0)>f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \left \{ x_0 \right \},h>0\)
  • Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại x0 nếu \(f(x_0)0\).

2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị

a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị

\(f(x)\) đạt cực trị tại \(x_0\), có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0)=0\).

b) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

  • Điều kiện thứ nhất: Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng \(K = ({x_0} - h;{x_0} + h)\,(h > 0)\) và có đạo hàm trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\):
    • Nếu   thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).
    •  Nếu  thì x0 là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).
  • Cách phát biểu khác dễ hiểu hơn: Đi từ trái sang phải
    • Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ - sang + khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu.
    • Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ + sang - khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại.
  • Điều kiện thứ hai: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng \(K = ({x_0} - h;{x_0} + h)\,(h > 0)\):
    • Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)<0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).
    • Nếu \(f'(x_0)=0\)\(f''(x_0)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).

3. Quy tắc tìm cực trị

a) Quy tắc 1

  • Tìm tập xác định.
  • Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.
  • Lập bảng biến thiên.
  • Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

b) Quy tắc 2

  • Tìm tập xác định.
  • Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm  của phương trình \(f'(x)=0\).
  • Tính \(f''(x)\) và \(f''(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm .

♦ Chú ý: nếu \(f''(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại .

Bài tập minh họa

1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số.

Ví dụ 1:

Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)

b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)

Lời giải:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)

Cách 1:

  • Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • \(y' = {x^2} - 2x - 3\)
  • \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
  • Bảng biến thiên: 

  • Kết luận:
    • Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\);
    • Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\).

Cách 2: 

  • Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • \(y' = {x^2} - 2x - 3\)
  • \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
  • \(y ''= 2x - 2\)
    •  \(y''\left( { - 1} \right) = - 4 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\).
    • ​\(y''\left( 3 \right) = 4 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\).

b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)

  • Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • \(y' = \frac{x}{{\left| x \right|}}\left( {x + 2} \right) + \left| x \right| = \frac{{2\left( {{x^2} + x} \right)}}{{\left| x \right|}} (x\ne0)\)
  • Bảng biến thiên:

  • Kết luận:
    • Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1,\) giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=1;\) 
    • Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0,\) giá trị cực tiểu \(y(0)=0.\)

Ví dụ 2: 

Tìm cực trị của hàm số \(y=x-sin2x+2.\)

Lời giải: 

  • Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • \(y' = 1 - 2\cos 2x\)
  • \(y'=0 \Leftrightarrow \cos2x\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi (k\in\mathbb{Z})\)
  • ​\(y'' = 4\sin 2x\)
    • \(y''\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{3} + 2k\pi } \right) = 2\sqrt 3 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = {\textstyle{\pi \over 6}} + k\pi - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\).
    • ​\(y''\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3} + 2k\pi } \right) = - 2\sqrt 3 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = -\frac{\pi }{6} + k\pi\), giá trị cực đại tương ứng là \(y\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = - \frac{\pi }{6} + k\pi - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\).

​2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 3: 

Tìm m để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx - 5\) có hai cực trị.

Lời giải:

  • Với m=-2 hàm số trở thành \(y = 3{x^2} - 2x - 5\) không thể có hai cực trị. (1)
  • Với \(m\ne-2\) ta có: \(y' = 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 6x + m\)
    • Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt.
    • Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = - 3\left( {{m^2} + 2m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1.\) (2)
  • Từ (1) (2) suy ra hàm số có hai cực trị khi: \(m \in \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( { - 2;1} \right)\)

Ví dụ 4: 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(\: y = -x^3 + (m+3)x^2 - (m^2 + 2m)x - 2\) đạt cực đại tại \(x=2.\)

Lời giải: 

  • Hàm số có tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
  • \(y' = -3x^2 + 2(m+3)x-(m^2 + 2m);\)
  • Để hàm số có cực trị tại \(x=2\) thì:
    • ​\(y'(2) = 0 \Leftrightarrow - 12 + 4(m + 3) - {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\)
    • Ta có: \(y'' = - 6x + 2(m + 3)\)
      • Với \(m=0\) thì \(y''(2)=-6<0.\)
      • Với \(m=2\) thì \(y''(2)=-2<0\).
  • Thứ lại với \(m=0\) và \(m=2\) hàm số đều đạt cực đại tại x=2.

Lời kết

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Giải tích 12 Chương 1 Bài 2 Cực trị của hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Giải tích 12 Chương 1 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247