Trang chủ Toán 12

Bài tập 2 trang 100-101 SGK Giải tích 12

Lý thuyết15 Trắc nghiệm

4 BT SGK

134 FAQ

Giải bài 2 tr 100-101 sách GK Toán GT lớp 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) \(\small f(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\).                            

b)  \(f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}\).

c)  \(f(x)=\frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\).                         

d) \(f(x) = sin5x.cos3x\).

e) \(f(x) = tan^2x\).

g) \(f(x) = e^{3-2x}\).

h) \(f(x)=\frac{1}{(1+x)(1-2x)}\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Hướng dẫn:

Biến đổi các biểu thức đã cho về tổng các biểu thức mà ta có thể suy ra được ngay nguyên hàm theo công thức tìm nguyên hàm của các hàm số cơ bản đã được giới thiệu trong bài học.

ÁP dụng các tính chất:

  •  \(\int fk(x)dx=k\int f(x)dx\) (với k là hằng số khác 0).
  • \(\int {\left( {f(x) \pm g(x)} \right)dx} = \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx}.\)

Lời giải:

Câu a:

\(f(x) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}} = \frac{{x + {x^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} = {x^{\frac{2}{3}}} + {x^{\frac{1}{6}}} + {x^{\frac{1}{3}}}\)

\(\Rightarrow \int {f(x)dx} = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{6}{7}{x^{\frac{7}{6}}} + {\frac{3}{2}^{\frac{2}{3}}} + C.\)

Câu b: 

\(f(x) = \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}} = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} - {e^{ - x}}\)

\(\Rightarrow \int {f(x)dx}  = \int {\left( {\frac{{{{\left( {\frac{2}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{2}{e}}} + {e^{ - x}}} \right)} dx{\rm{}} = \frac{{{2^x}}}{{{e^x}(\ln 2 - 1)}} + \frac{1}{{{e^x}}} = \frac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}(\ln 2 - 1)}}.\)

Câu c:

\(\begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2} + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.co{s^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Rightarrow \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = \tan x - \cot x + C} \end{array}\)

Câu d:

\(f(x) = \sin 5x.\cos 3xdx = \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x)\)

Vậy: 

\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)dx} = - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{8}\cos 8x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\\ = - \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{4}\cos 8x + \cos 2x} \right) + C \end{array}\)

Câu e:

\(\begin{array}{l} f(x) = {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\\ \Rightarrow \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} = \tan x - x + C. \end{array}\)

Câu g:

\(\int {f(x)dx} = \int {{e^{3 - 2x}}dx} = - \frac{1}{2}{e^{3 - 2x}} + C.\)

Câu h:

\(\begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{{(1 + x)(1 - 2x)}} = \frac{a}{{1 + x}} + \frac{b}{{1 - 2x}}\\ = \frac{{a(1 - 2x) + b(1 + x)}}{{(1 + x)(1 - 2x)}} = \frac{{(b - 2a)x + a + b}}{{(1 + x)(1 - 2x)}}. \end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có:\(\left\{ \begin{array}{l} b - 2a = 0\\ a + b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{2}{3} \end{array} \right.\)

Vậy: 

\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{1 + x}}dx} + \frac{2}{3}\int {\frac{1}{{1 - 2x}}dx} \\ = \frac{1}{3}\ln \left| {1 + x} \right| - \frac{1}{3}\ln \left| {2x - 1} \right| + C = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{2x - 1}}} \right| + C. \end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Video hướng dẫn giải bài 2 SGK

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 2 trang 100-101 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ 

Để luyện tập thêm dạng bài tương tự như Bài tập 2 trang 100-101 trong SGK các em làm thêm câu hỏi trắc nghiệm sau để cũng cố kỹ năng làm dạng bài.

  • Câu 1:

    Tìm hàm số \(f(x)\) biết rằng \(f'(x) = 2x + 1\) và \(f(1)=5.\)

    • A. \(f(x) = {x^2} + x + 3\)
    • B. \(f(x) = {x^2} + x - 3\)
    • C. \(f(x) = {x^2} + x\)
    • D. \(f(x) = {x^2} -x\)

Được đề xuất cho bạn