Giải bài 2 tr 100-101 sách GK Toán GT lớp 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?
a) \(\small f(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\).
b) \(f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}\).
c) \(f(x)=\frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\).
d) \(f(x) = sin5x.cos3x\).
e) \(f(x) = tan^2x\).
g) \(f(x) = e^{3-2x}\).
h) \(f(x)=\frac{1}{(1+x)(1-2x)}\).
Hướng dẫn giải chi tiết bài 2
Hướng dẫn:
Biến đổi các biểu thức đã cho về tổng các biểu thức mà ta có thể suy ra được ngay nguyên hàm theo công thức tìm nguyên hàm của các hàm số cơ bản đã được giới thiệu trong bài học.
ÁP dụng các tính chất:
- \(\int fk(x)dx=k\int f(x)dx\) (với k là hằng số khác 0).
- \(\int {\left( {f(x) \pm g(x)} \right)dx} = \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx}.\)
Lời giải:
Câu a:
\(f(x) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}} = \frac{{x + {x^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} = {x^{\frac{2}{3}}} + {x^{\frac{1}{6}}} + {x^{\frac{1}{3}}}\)
\(\Rightarrow \int {f(x)dx} = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{6}{7}{x^{\frac{7}{6}}} + {\frac{3}{2}^{\frac{2}{3}}} + C.\)
Câu b:
\(f(x) = \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}} = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} - {e^{ - x}}\)
\(\Rightarrow \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{{{{\left( {\frac{2}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{2}{e}}} + {e^{ - x}}} \right)} dx{\rm{}} = \frac{{{2^x}}}{{{e^x}(\ln 2 - 1)}} + \frac{1}{{{e^x}}} = \frac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}(\ln 2 - 1)}}.\)
Câu c:
\(\begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2} + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.co{s^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Rightarrow \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = \tan x - \cot x + C} \end{array}\)
Câu d:
\(f(x) = \sin 5x.\cos 3xdx = \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x)\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)dx} = - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{8}\cos 8x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\\ = - \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{4}\cos 8x + \cos 2x} \right) + C \end{array}\)
Câu e:
\(\begin{array}{l} f(x) = {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\\ \Rightarrow \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} = \tan x - x + C. \end{array}\)
Câu g:
\(\int {f(x)dx} = \int {{e^{3 - 2x}}dx} = - \frac{1}{2}{e^{3 - 2x}} + C.\)
Câu h:
\(\begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{{(1 + x)(1 - 2x)}} = \frac{a}{{1 + x}} + \frac{b}{{1 - 2x}}\\ = \frac{{a(1 - 2x) + b(1 + x)}}{{(1 + x)(1 - 2x)}} = \frac{{(b - 2a)x + a + b}}{{(1 + x)(1 - 2x)}}. \end{array}\)
Đồng nhất hệ số ta có:\(\left\{ \begin{array}{l} b - 2a = 0\\ a + b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{2}{3} \end{array} \right.\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{1 + x}}dx} + \frac{2}{3}\int {\frac{1}{{1 - 2x}}dx} \\ = \frac{1}{3}\ln \left| {1 + x} \right| - \frac{1}{3}\ln \left| {2x - 1} \right| + C = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{2x - 1}}} \right| + C. \end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
Video hướng dẫn giải bài 2 SGK
-
Tìm \(\int {{{\sin }^4}xdx?} \)?
bởi Nguyễn Đạt
23/06/2020
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Tính \(\int {{4^{3x}}dx} \)?
bởi Nguyễn Khang BT
21/06/2020
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Tính \(\int {\frac{{{e^{\ln x}}}}{x}dx} \)?
bởi y nguyen
21/06/2020
nguyên hàm của e mũ lnx chia x dx
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm I = nguyên hàm e mũ ln x chia x
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Nguyên hàm của hàm số f(x)=|x|?
bởi Kim Thoa
10/06/2020
Nguyên hàm của hàm số f(x)=|x|?
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc VT = 160 - 10t mét trên giây Hỏi rằng trong 3 giây trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2x + 3}}{{x - 4}}\) trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\)?
bởi Thu
09/06/2020
Giả hộ mình với ạ
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2x + 3}}{{x - 4}}\) trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\)?
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
Tính thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đường y=sinx,trục hoành và 2 đường thẳng x=0,x=π ?
bởi Trần Đình Trường
07/06/2020
Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đường y= sinx, trục hoành và 2 đường thẳng x=0, x=π là?
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
F(x)=2x 3/2x-1 là nguyê hàm của hàm nào
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
Câu 6 Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng k nếu
Theo dõi (0) 4 Trả lời -
Theo dõi (0) 1 Trả lời
-
Nêu một số phương pháp tính nguyên hàm
bởi Trịnh Lan Trinh
30/05/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Nêu nguyên hàm của một số trường hợp thường gặp
bởi Trịnh Lan Trinh
30/05/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Nêu khái niệm nguyên hàm?
bởi Trần Hoàng Mai
31/05/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm \(f(x) = {\cos ^2}x.\cos 2x\)?
bởi Đính Nguyễn
28/05/2020
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Cho hàm số f=(x) thoả mãn f'=1/2x-1,f=(1). Tính f(5)
bởi Lam Hồ Ban
27/05/2020
Nguyên hàmTheo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm nguyên hàm
bởi Hoàng Nguyễn
23/05/2020
Nguyên hàm của (2x2-1)8x.dx làm ntn ạ
Theo dõi (0) 1 Trả lời