Bài tập 3.8 trang 165 SBT Toán 12

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\int {\frac{1}{{1 + \sin x}}dx}  = \int {\frac{1}{{{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}}}dx} \\
 = \int {\frac{1}{{2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)}}dx}  =  - \cot \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) + C
\end{array}\)

Vậy \(F\left( x \right) = 1 - \cot \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số  f(x).

\(G'(x) = \frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}} = \frac{{\cos \frac{x}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}} = \frac{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{\sin x}}\) nên G(x) không là nguyên hàm của hàm số f(x)

\(H'(x) = \frac{{(1 + \sin x)'}}{{1 + \sin x}} = \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}\) nên H(x) không là nguyên hàm của hàm số f(x).

\(\begin{array}{l}
K'\left( x \right) = 2.\frac{{{{\left( {1 + \tan \frac{x}{2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + \tan \frac{x}{2}} \right)}^2}}} = 2.\frac{{\frac{1}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}}}{{{{\left( {\frac{{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}}} \right)}^2}}}\\
 = \frac{1}{{{{\left( {\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{1 + \sin x}}
\end{array}\)

Vậy K(x)  là một nguyên hàm của hàm số  f(x).

-- Mod Toán 12 HỌC247