Số nghiệm của phương trình ${\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)$ là

ĐK: $x \ne 0;\,\,x \ne \sqrt 2$.

Đặt $t = {x^2} - \sqrt 2 x$$\Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x + 2 = t + 2$

$\Rightarrow {\log _3}\left| t \right| = {\log _5}\left( {t + 2} \right)$.

Đặt ${\log _3}\left| t \right| = {\log _5}\left( {t + 2} \right) = u$

$\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}\left| t \right| = u\\{\log _5}\left( {t + 2} \right) = u\end{array} \right. \Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}\left| t \right| = {3^u}\\t + 2 = {5^u}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left| {{5^u} - 2} \right| = {3^u}$

$\Rightarrow$$\left[ \begin{array}{l}{5^u} - 2 = {3^u}\\{5^u} - 2 =  - {3^u}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^u} + {3^u} = 2\\{3^u} + 2 = {5^u}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^u} + {3^u} = 2\quad \quad \quad \quad (1)\quad \\{\left( {\frac{3}{5}} \right)^u} + 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^u} = 1\quad (2)\end{array} \right..$

• Xét $\left( 1 \right):{5^u} + {3^u} = 2$

Ta thấy $u = 0$ là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm $u = 0$ là duy nhất.

Với $u = 0 \Rightarrow t =  - 1 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0$, phương trình này vô nghiệm.

• Xét $\left( 2 \right):{\left( {\frac{3}{5}} \right)^u} + 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^u} = 1$

Ta thấy $u = 1$ là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm $u = 1$ là duy nhất.

Với $u = 0 \Rightarrow t = 3 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 3 = 0$, phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa $x \ne 0;\,\,x \ne \sqrt 2$.