Cho $a$ là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn $3{\log _3}\left( {1 + \sqrt a  + \sqrt[3]{a}} \right) > 2{\log _2}\sqrt a$.

Đặt $t = \sqrt[6]{a},t > 0$ , từ giả thiết ta có $3{\log _3}\left( {1 + {t^3} + {t^2}} \right) > 2{\log _2}{t^3}$

$\Leftrightarrow f\left( t \right) = {\log _3}\left( {1 + {t^3} + {t^2}} \right) - {\log _2}{t^2} > 0$

$f'\left( t \right) = \frac{1}{{\ln 3}}.\frac{{3{t^2} + 2t}}{{{t^3} + {t^2} + 1}} - \frac{2}{{\ln 2}}.\frac{1}{t} = \frac{{\left( {3ln2 - 2\ln 3} \right){t^3} + \left( {2\ln 2 - 2\ln 3} \right){t^2} - 2\ln 3}}{{\ln 2.\ln 3.\left( {{t^4} + {t^3} + t} \right)}}$

Vì đề xét $a$ nguyên dương nên ta xét $t \ge 1$.

Xét$g\left( t \right) = \left( {3ln2 - 2\ln 3} \right){t^3} + \left( {2\ln 2 - 2\ln 3} \right){t^2} - 2\ln 3$

Ta có$g'\left( t \right) = 3\ln \frac{8}{9}{t^2} + 2\ln \frac{4}{9}t = t\left( {3\ln \frac{8}{9}t + 2\ln \frac{4}{9}} \right)$

$g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{9\ln \frac{9}{4}}}{{3\ln \frac{8}{9}}} < 0$

Lập bảng biến thiên suy ra hàm số $g\left( t \right)$ giảm trên khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Suy ra $g\left( t \right) \le g\left( 1 \right) = 5\ln 2 - 6\ln 3 < 0 \Rightarrow f'\left( t \right) < 0$ .

Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ luôn giảm trên khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Nên $t = 4$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f\left( t \right) = 0$.

Suy ra $f\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) > f\left( 4 \right) \Leftrightarrow t < 4 \Leftrightarrow \sqrt[6]{a} < 4 \Leftrightarrow a < 4096$.

Nên số nguyên $a$ lớn nhất thỏa mãn giả thiết bài toán là $a = 4095$.

Lúc đó ${\log _2}\left( {2017a} \right) \approx 22,97764311$.

Nên phần nguyên của ${\log _2}\left( {2017a} \right)$ bằng 22.