AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho \(a\) là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn \(3{\log _3}\left( {1 + \sqrt a  + \sqrt[3]{a}} \right) > 2{\log _2}\sqrt a \). Tìm phần nguyên của \({\log _2}\left( {2017a} \right)\).

    • A. 14
    • B. 22
    • C. 16
    • D. 19

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    Đặt \(t = \sqrt[6]{a},t > 0\) , từ giả thiết ta có \(3{\log _3}\left( {1 + {t^3} + {t^2}} \right) > 2{\log _2}{t^3}\)

    \( \Leftrightarrow f\left( t \right) = {\log _3}\left( {1 + {t^3} + {t^2}} \right) - {\log _2}{t^2} > 0\)

    \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{\ln 3}}.\frac{{3{t^2} + 2t}}{{{t^3} + {t^2} + 1}} - \frac{2}{{\ln 2}}.\frac{1}{t} = \frac{{\left( {3ln2 - 2\ln 3} \right){t^3} + \left( {2\ln 2 - 2\ln 3} \right){t^2} - 2\ln 3}}{{\ln 2.\ln 3.\left( {{t^4} + {t^3} + t} \right)}}\)

    Vì đề xét \(a\) nguyên dương nên ta xét \(t \ge 1\).

    Xét\(g\left( t \right) = \left( {3ln2 - 2\ln 3} \right){t^3} + \left( {2\ln 2 - 2\ln 3} \right){t^2} - 2\ln 3\)

    Ta có\(g'\left( t \right) = 3\ln \frac{8}{9}{t^2} + 2\ln \frac{4}{9}t = t\left( {3\ln \frac{8}{9}t + 2\ln \frac{4}{9}} \right)\)

    \(g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{9\ln \frac{9}{4}}}{{3\ln \frac{8}{9}}} < 0\)

    Lập bảng biến thiên suy ra hàm số \(g\left( t \right)\) giảm trên khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

    Suy ra \(g\left( t \right) \le g\left( 1 \right) = 5\ln 2 - 6\ln 3 < 0 \Rightarrow f'\left( t \right) < 0\) .

    Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) luôn giảm trên khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

    Nên \(t = 4\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(f\left( t \right) = 0\).

    Suy ra \(f\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) > f\left( 4 \right) \Leftrightarrow t < 4 \Leftrightarrow \sqrt[6]{a} < 4 \Leftrightarrow a < 4096\).

    Nên số nguyên \(a\) lớn nhất thỏa mãn giả thiết bài toán là \(a = 4095\).

    Lúc đó \({\log _2}\left( {2017a} \right) \approx 22,97764311\).

    Nên phần nguyên của \({\log _2}\left( {2017a} \right)\) bằng 22.

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>