Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ${2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4$ là

Điều kiện $x \ne 0$

- Nếu $x > 0 \Rightarrow x + \frac{1}{{4x}} \ge 1$, dấu bằng xẩy ra khi $x = \frac{1}{2}$ và $\frac{x}{4} + \frac{1}{x} \ge 1$,

dấu bằng xẩy ra khi $x = 2$ suy ra ${2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} > 4,\,\forall x > 0$

- Nếu $x < 0 \Rightarrow  - x - \frac{1}{{4x}} \ge 1 \Rightarrow x + \frac{1}{{4x}} \le  - 1 \Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} \le \frac{1}{2}$, dấu bằng xẩy ra khi $x =  - \frac{1}{2}$

và $- \frac{x}{4} - \frac{1}{x} \ge 1 \Rightarrow \frac{x}{4} + \frac{1}{x} \le  - 1 \Rightarrow {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \le \frac{1}{2}$, dấu bằng xẩy ra khi $x = 2$

Suy ra ${2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} < 1,\,\forall x < 0$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.