Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 1 Lũy thừa

Tính:

a) \(9^{\frac{2}{5}}.27^{\frac{2}{5}}\) .

b) \(144^{\frac{3}{4}}: 9^{\frac{3}{4}}\) .

c) \(\left ( \frac{1}{16} \right )^{-0,75}+\left ( 0,25 \right )^{\frac{-5}{2}}\) .

d) \(\left ( 0,04 \right )^{-1,5}-\left ( 0,125 \right )^{\frac{-2}{3}}\) .

Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 

a) \(a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}\).

b) \(b^{\frac{1}{2}}.b ^{\frac{1}{3}}. \sqrt[6]{b}\).

c) \(a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}\).

d) \(\sqrt[3]{b}: b^{\frac{1}{6}}\).

Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) \(1^{3,75}\) ; \(2^{-1}\) ; \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}}\).

b) \(98^{0}\) ; \(\left ( \frac{3}{7} \right )^{-1}\) ; \({32^{\frac{1}{5}}}\).

Chứng minh rằng: 

a) \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{2\sqrt{5}} <\left ( \frac{1}{3} \right )^{3\sqrt{2}}\). 

b) \(7^{\sqrt[6]{3}}> 7^{\sqrt[3]{6}}\).

 Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\frac{a^{\frac{4}{3}}\left ( a^{\frac{-1}{3}}+ a^{\frac{2}{3}} \right )}{a^{\frac{1}{4}}\left ( a^{\frac{3}{4}}+ a^{\frac{-1}{4}} \right )}\).

b) \(\frac{b^{\frac{1}{5}}\left ( \sqrt[5]{b^{4}}- \sqrt[5]{b^{-1}} \right )}{b^{\frac{2}{3}}\left (\sqrt[3]{b}- \sqrt[3]{b^{-2}} \right )}\).

c) \(\frac{a^\frac{1}{3}.b^{-\frac{1}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}.b^\frac{1}{3}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}\).

d) \(\frac{a^\frac{1}{3}.\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a^2}+\sqrt[6]{b^2}}\).

Cho a và b là các số dương. Đơn giản các biểu thức sau:

a) \(\frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b  + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}\)

c) \(\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\)

d) \(\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right):\left( {2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right)\)

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau :

A. \({2^{ - 2}} < 1\)

B. \({(0,013)^{ - 1}} > 75\)

C. \({\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^{\sqrt 5  - 2}} > 1\)

D. \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 8  - 3}} < 3\)

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Với số thực a và các số nguyên m, n, ta có: \({a^m}.{a^n} = {a^{m.n}};\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)

b) Với hai số thực a, b cùng khác 0 và số nguyên n, ta có:

\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}.{b^n};{\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)

c) Với hai số thực a, b thỏa mãn 0 < a < b và số nguyên n, ta có aⁿ < bⁿ

d) Với số thực a khác 0 và hai số nguyên m, n, ta có: Nếu m > n thì a^m > aⁿ

Xét khẳng định: “Với số thực a và hai số hữu tỉ r, s, ta có \({\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{rs}}\)

Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng?

(A) a bất kì         

(B) a ≠ 0               

(C) a > 0                

(D) a < 1.

Xét khẳng định: “Với số thực a và hai số hữu tỉ r, s, ta có \({\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{rs}}\)

Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng?

(A) a bất kì         

(B) a ≠ 0               

(C) a > 0                

(D) a < 1.

Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:

\({7^{ - 1}}.14;\frac{4}{{{3^{ - 2}}}};{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ - 2}};\frac{{{{\left( { - 18} \right)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}}\)

Thực hiện phép tính:

a) \({81^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{\frac{{ - 3}}{5}}};\)

b) \(0,{001^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( { - 2} \right)^{ - 2}}{.64^{\frac{2}{3}}} - {8^{ - 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2}\)

c) \({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} - {25^{0,5}}\)

d) \({( - 0,5)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - 1\frac{1}{2}}} + 19.{\left( { - 3} \right)^{ - 3}}\)

Đơn giản biểu thức ( với a, b là những số dương)

a) \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{4}{3}}}}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ - \frac{1}{3}}}}}\)

So sánh các số

a) \(\sqrt 2 \) và \(\sqrt[3]{3}\)

b) \(\sqrt 3  + \sqrt[3]{{30}}\) và \(\sqrt[3]{{63}}\)

c) \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} \) và \(\sqrt {10}  + \sqrt[3]{{28}}\)

So sánh các số

a) \(\sqrt 2 \) và \(\sqrt[3]{3}\)

b) \(\sqrt 3  + \sqrt[3]{{30}}\) và \(\sqrt[3]{{63}}\)

c) \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} \) và \(\sqrt {10}  + \sqrt[3]{{28}}\)

Chứng minh \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 2\)

Đơn giản biểu thức

a) \(\frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)

b) \(\frac{{a - b}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}} - \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\)

c) \(\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\)

d) \(\frac{{a - 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a  + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1\)

Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh:

\(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b},\left( {a \ge 0,b \ge 0} \right)\), n nguyên dương

Chứng minh

a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = 2\)

b) \(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 3\)

So sánh số

a) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - \frac{5}{6}}}\) và \(\sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}\)

b) 3⁶⁰⁰ và 5⁴⁰⁰

c) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{5}{7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}\)

d) 7³⁰ và 4⁴⁰

Xét mệnh đề: "Với các số thực x, a, b, nếu a^x < b^x ". Với điều kiện nào sau đây của x thì mệnh đề đó là đúng?

(A) x bất kì

(B) x > 0

(C) x < 0

Xét mệnh đề: "Với các số thực x, a, b, nếu a^x < a^y ". Với điều kiện nào sau đây của a thì mệnh đề đó là đúng?

(A) a bất kì

(B) a > 0

(C) a > 1

Cho các số thực a, x, y với x < y. Hãy tìm điều kiện của a để a^x > a^y

Tính các biểu thức: 

\({\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }};{2^{2 - 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }};{3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}}\)

Đơn giản biểu thức 

\(\frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 3  - 1}}} \right)}^{\sqrt 3  + 1}}}}{{{a^{\sqrt 5  - 3}}.{a^{4 - \sqrt 5 }}}}\); \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2  - 1}}\)

Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất 7.56% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữi tỉ:

a) \(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}},\left( {x > 0} \right)\)

b) \(\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}},}}\left( {a > 0,b > 0} \right)\)

c) \(\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}}}.\sqrt {\frac{2}{3}} }}\)

d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}},\left( {a > 0} \right)\)

Đơn giản biểu thức: 

a) \({a^{ - 2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{ - \sqrt 2  - 1}}}}} \right)^{\sqrt 2  + 1}}\)

b) \({\left( {\frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{b^{\sqrt 3  - 1}}}}} \right)^{\sqrt 3  + 1}}\frac{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}}}{{{b^{ - 2}}}}\)

c) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)

d) \(\sqrt {{{({x^\pi } + {y^\pi })}^2} - {{({4^{\frac{1}{\pi }}}xy)}^\pi }} \)

Tìm số thực \(\alpha \), thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) \(\frac{1}{2}({a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}) = 1(a > 0)\)

b) \({3^{|\alpha |}} < 27\)

Giải các phương trình sau bằng cách đặt \(t = \sqrt[4]{x}\)

a) \(\sqrt x  + \sqrt[4]{x} = 2\)

b) \(\sqrt x  - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \({x^4} < 3\)

b) \({x^{11}} \ge 7\)

c) \({x^10} > 2 \)

d) \({x^3} \le 5\)