Bài tập 4 trang 57 SGK Giải tích 12

Nhận xét:

Đây là bài tập rèn luyện kĩ năng sử tính chất của lũy thừa, các em cần rèn luyện để ghi nhớ và biết cách sử dụng các tính chất để phục vụ cho việc giải các dạng toán khác sau này.

Lời giải:

Dưới đây là lời giải chi tiết các câu a, b, c, d bài 3:

Câu a:

\(\dfrac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{{ - 1}}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{{ - 1}}{4}}}} \right)}} = \dfrac{{{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{{ - 1}}{3}}} + {a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{{ - 1}}{4}}}}}\)

\(= \dfrac{{{a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{4} + \frac{{ - 1}}{4}}}}} = \dfrac{{{a^1} + {a^2}}}{{{a^1} + {a^0}}} \\= {\dfrac{{a + a}}{{a + 1}}^2} = \dfrac{{a\left( {1 + a} \right)}}{{a + 1}} = a\) (Với \(a>0\)).

Câu b:

\(\dfrac{{{b^{\frac{1}{5}}}\left( {\sqrt[5]{{{b^4}}} - \sqrt[5]{{{b^{ - 1}}}}} \right)}}{{{b^{\frac{2}{3}}}\left( {\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{{{b^{ - 2}}}}} \right)}} = \dfrac{{{b^{\frac{1}{5}}}\left( {{b^{\frac{4}{5}}} - {b^{\frac{{ - 1}}{5}}}} \right)}}{{{b^{\frac{2}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{{ - 2}}{3}}}} \right)}}\)

\( = \dfrac{{{b^{\frac{1}{5}}}.{b^{\frac{4}{5}}} - {b^{\frac{1}{5}}}.{b^{ - \frac{1}{5}}}}}{{{b^{\frac{2}{3}}}.{b^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{2}{3}}}.{b^{ - \frac{2}{3}}}}}\)

\( = \dfrac{{{b^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}} - {b^{\frac{1}{5} - \frac{1}{5}}}}}{{{b^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}} - {b^{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}}} = \dfrac{{b - 1}}{{b - 1}} = 1\) ( Với điều kiện \(b>0; \, b \neq 1\)).

Câu c:

\(\dfrac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {a^{\frac{{ - 1}}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - {\rm{ }}\sqrt[3]{{{b^2}}}}}\)

\( = \dfrac{{{a^{ - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {a^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{b^{ - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} - {b^{\frac{2}{3}}}}}\)

\(=\dfrac{{{a^{\frac{{ - 1}}{3}}}{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - {b^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{2}{3}}} - {b^{\frac{2}{3}}}}} = {a^{\frac{{ - 1}}{3}}}{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}\)

\( = {\left( {ab} \right)^{ - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{{{{\left( {ab} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\)

Với điều kiện: \(a \ne b;a,b > 0\)

Câu d:

\(\dfrac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + {\rm{ }}\sqrt[6]{b}}} = \dfrac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} = \dfrac{{{a^{\frac{2}{6}}}{b^{\frac{3}{6}}} + {b^{\frac{2}{6}}}{a^{\frac{3}{6}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}}\)

\( = \dfrac{{{a^{\frac{2}{6}}}{b^{\frac{2}{6}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} = {a^{\frac{2}{6}}}{b^{\frac{2}{6}}} = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} = {\rm{ }}\sqrt[3]{{ab}}.\) (Với \(a, b > 0\)).

-- Mod Toán 12 HỌC247