Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 2 Cực trị của hàm số

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) \(y = 2x^3 + 3x^2 - 36x - 10\).  

b) \(y = x^4+ 2x^2 - 3\).

c) \(y = x + \frac{1}{x}\).                              

d) \(y = x^3(1 - x)^2\).

e) \(y = \sqrt {x^2-x+1}\).

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) \(y = x^4 - 2x^2 + 1\).

b) \(y=\sin {2x} - x\).

c) \(y = sinx + cosx\).

d) \(y = x^5 - x^3 - 2x + 1\).

Chứng minh rằng hàm số \(y = \sqrt {\left| x \right|} \) 

không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số \(y = x^3 - mx^2 - 2x + 1\) luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Tìm a và b để các cực trị của hàm số \(y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\) đều là những số dương và \({x_0} =  - \frac{5}{9}\) là điểm cực đại.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\) đạt cực đại tại x = 2.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \({y = {x^2} - 2{x^2} + mx + 1}\) đạt cực tiểu tại x = 1.

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
 - 2x,\,\,\,\,x \ge 0\\
\sin \frac{x}{2},\,\,x < 0
\end{array} \right.\)

không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \frac{2}{3}} \right)x + 5\) có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại ? Tính cực trị tương ứng.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị

\(y = \frac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\)

Hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\) có mấy điểm cực đại?

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5\) có cực trị:

Cho hàm số \(y =  - {x^4} + 4{x^2} - 3\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu.

B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu.

C. Hàm số chỉ có một cực tiểu.

D. Hàm số chỉ có một cực đại.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị

 \(y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} - 3(m + 3)x - 5\)

A. \(m \ge 0\)

B. \(m \in R\)

C. \(m < 0\)

D. \(m \in [ - 5;5]\)

Cho hàm số \(y = {x^3} + \frac{3}{2}{x^2}\). Khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A. \(d = 2\sqrt 5 \)

B. \(d = \frac{{\sqrt 5 }}{4}\)

C. \(d = \sqrt 5 \)

D. \(d = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 3x - 1\)

b) \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2x - 10\)

c) \(f(x) = x + \frac{1}{x}\)

d) \(f(x) = |x|(x + 2)\)

e) \(f(x) = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{x^3}}}{3} + 2\)

f) \(f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}}\)

Tìm cực trị của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)  y = x\sqrt {4 - {x^2}} \\
b)  y = \sqrt {8 - {x^2}} \\
c)  y = x - \sin 2x + 2\\
d)  y = 3 - 2\cos x - \cos 2x
\end{array}\)

Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1

Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = − 2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0)

Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số \(y = \frac{{{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + 1}}{{x - m}}\) luôn có cực đại và cực tiểu