Bài tập 2.37 trang 81 SBT Hình học 11

a) CC′ // BB′ ⇒ ΔICC′ ∼ ΔIBB′ \( \Rightarrow \frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{BB'}}{{CC'}} = \frac{b}{c}\)

CC′ // AA′ ⇒ ΔJCC′ ∼ ΔJAA′ \( \Rightarrow \frac{{JC}}{{JA}} = \frac{{CC'}}{{AA'}} = \frac{c}{a}\)

AA′ // BB′ ⇒ ΔKAA′ ∼ ΔKBB′ \( \Rightarrow \frac{{KA}}{{KB}} = \frac{{AA'}}{{BB'}} = \frac{a}{b}\)

Do đó \(\frac{{IB}}{{IC}}.\frac{{JC}}{{JA}}.\frac{{KA}}{{KB}} = \frac{b}{c}.\frac{c}{a}.\frac{a}{b} = 1\)

b) Gọi H và H’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’. Vì HH’ là đường trung bình của hình thang BB’CC’ nên HH′ // BB′.

Mà BB′ // AA′ suy ra HH′ // AA′

Ta có: G ∈ AH và G′ ∈ A′H′ và ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AG}}{{AH}} = \frac{2}{3}\\
\frac{{A'G'}}{{A'H'}} = \frac{2}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow AA'\parallel GG'\parallel HH'\)

c) AH′ ∩ GG′ = M ⇒ GG′ = G′M + MG

Ta có: G′M // AA′ ⇒ ΔH′G′M ∼ ΔH′A′A

\( \Rightarrow \frac{{G'M}}{{AA'}} = \frac{{H'G'}}{{H'A'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow G'M = \frac{1}{3}AA' = \frac{1}{3}a\)

MG // HH′ ⇒ ΔAMG ∼ ΔAH′H

\( \Rightarrow \frac{{MG}}{{HH'}} = \frac{{AG}}{{AH}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MG = \frac{2}{3}HH'\)

Mặt khác HH’ là đường trung bình của hình thang BB’CC’ nên

\(HH' = \frac{{BB' + CC'}}{2} = \frac{{b + c}}{2} \Rightarrow MG = \frac{2}{3}HH' = \frac{2}{3}.\frac{{b + c}}{2} = \frac{1}{3}\left( {b + c} \right)\)

Do đó \(GG' = G'M + MG = \frac{1}{3}a + \frac{1}{3}\left( {b + c} \right) = \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\).

-- Mod Toán 11 HỌC247