Bài tập 8 trang 78 SGK Hình học 11 NC

a)

Dựng tia Bz song song và cùng hướng với tia Ax. Trên các tia Ax, By và Bz lần lượt lấy các điểm cố định M₀, N₀ và M’₀ sao cho \(\frac{{A{M_0}}}{{B{N_0}}} = k\) và BM′₀ = AM₀

Khi đó ta có : M₀M′₀ // AB và 

\(\frac{{BM{'_0}}}{{B{N_0}}} = k\)  (1)

Lấy điểm M’ thuộc tia Bz sao cho BM’ = AM.

Từ (1) và (2) ta có : MM’ // M₀M’₀ (3)

Và \(\frac{{BM}}{{BN}} = \frac{{BM{'_0}}}{{B{N_0}}}\) (4)

Từ (4) suy ra NM’ // N₀M’₀  (5)

Từ (3) và (5) suy ra mp(MNM’) // mp(M₀N₀M’₀).

Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định (M₀N₀M’₀)

b)

* Chiều thuận.

Gọi O là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho OA : OB = k. Từ O ta vẽ hai tia Ox’ và Oy’ sao cho Ox’ // Ax, Oy’ // By. Xét phép chiếu song song theo phương AB lên mp(Ox’, Oy’). Gọi M’, N’ lần lượt là hình chiếu của M và N theo phép chiếu này. Khi đó, giao điểm của MN và M’N’ chính là điểm I vì rõ ràng ta có :

\(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{M\prime M}}{{N\prime N}} = \frac{{OA}}{{OB}} = k\)

Trong tam giác M’ON’, ta có : \(\frac{{IM\prime }}{{IN\prime }} = k,\frac{{OM\prime }}{{ON\prime }} = \frac{{AM}}{{BN}} = k\)

Vậy \(\frac{{IM\prime }}{{IN\prime }} = \frac{{OM\prime }}{{ON\prime }} = k\). Từ đó suy ra I phải nằm trên tia phân giác Ot của góc x’Oy’.

* Chiều đảo.

Giả sử I là một điểm bất kì thuộc tia phân giác Ot của góc x’Oy’.

Gọi M’, N’ là những điểm lần lượt thuộc tia Ox’, tia Oy’ sao cho M’, I, N’ thẳng hàng và \(\frac{{IM\prime }}{{IN\prime }} = k\) (có thể tìm M’, N’ bằng cách dùng phép vị tự tâm I tỉ số -k trên mp(Ox’y’)). Gọi M, N lần lượt là những điểm thuộc các tia Ax, By sao cho AM = OM’, BN = ON’. Dễ thấy I, M, N thẳng hàng và IM : IN = k.

-- Mod Toán 11 HỌC247