Bài tập 5 trang 78 SGK Hình học 11 NC

a) Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’ thì rõ ràng II' song song và bằng AA’ nên tứ giác AII’A’ là hình bình hành, do đó AI song song và bằng A’I’

Ta cũng có \(AG = \frac{2}{3}AI,A\prime G\prime  = \frac{2}{3}A\prime I\prime \), mà AI = A’I’ suy ra AG song song và bằng A’G’

Vậy tứ giác AGG’A’ là hình bình hành

Do đó, GG’ song song và bằng AA’

b) B₁C₁ cắt II’ tại I₁ thì I₁ là trung điểm của B₁C₁

Vì G₁ thuộc A₁I₁ và AA₁ // GG₁ // II₁ 

Nên \(\frac{{{G_1}{A_1}}}{{{A_1}{I_1}}} = \frac{{GA}}{{AI}} = \frac{2}{3}\)

Vậy G₁ là trọng tâm tam giác A₁B₁C₁.

c) Xét hình bình hành AII’A’. Gọi L, L’ lần lượt là trung điểm của AG và A’G’, L₁ là giao điểm của LL’ và A₁I₁

Khi đó L₁ là trung điểm của A₁G₁

Theo định lí về đường trung bình của hình thang ta có :

\(2{G_1}G\prime  = {L_1}L\prime  + {I_1}I\prime  = \frac{1}{2}({A_1}A\prime  + {G_1}G\prime ) + {I_1}I\prime \)

Suy ra: \({G_1}G\prime  = \frac{1}{3}({A_1}A\prime  + 2{I_1}I\prime )\)

Mặt khác: 2I₁I’ = B₁B’ + C₁C’

Vậy: \({G_1}G\prime  = \frac{1}{3}({A_1}A\prime  + {B_1}B\prime  + {C_1}C\prime )\)

Chứng minh tương tự ta có: 

\({G_1}G = \frac{1}{3}({A_1}A + {B_1}B + {C_1}C)\)

-- Mod Toán 11 HỌC247