Bài tập 2.50 trang 84 SBT Hình học 11

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có:

\(\begin{array}{l}
M{A^2} + M{B^2} = 2M{E^2} + \frac{1}{2}A{B^2}\,\,\left( 1 \right)\\
M{C^2} + M{D^2} = 2M{F^2} + \frac{1}{2}C{D^2}\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)

Cộng (1) và (2) ta có:

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2\left( {M{E^2} + M{F^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + C{D^2}} \right)\)

Gọi J là trung điểm của EF, ta có:

\(M{E^2} + M{F^2} = 2M{J^2} + \frac{1}{2}E{F^2}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\\
 = 2\left( {2M{J^2} + \frac{1}{2}E{F^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + C{D^2}} \right)\\
 \ge E{F^2} + \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + C{D^2}} \right)
\end{array}\)

Vậy MA² + MB² + MC² + MD² đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ J.

-- Mod Toán 11 HỌC247