-
Câu hỏi:
Thể tích khối trụ nội tiếp một mặt cầu có bán kính R không đổi có thể đạt giá trị lớn nhất bằng
- A. \(\frac{{4\pi }}{{9\sqrt 3 }}{R^3}\)
- B. \(\frac{{\pi }}{{9\sqrt 3 }}{R^3}\)
- C. \(\frac{{2\pi }}{{9\sqrt 3 }}{R^3}\)
- D. \(\frac{{4\pi \sqrt 3 }}{9}{R^3}\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: A
Gọi r, h, V tương ứng là bán kính đáy, chiều cao và thể tích của khối trụ. Ta dễ dàng thấy \({r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} = {R^2}\). Và từ đó \(V = \frac{\pi }{3}h{r^2} = \frac{\pi }{3}h\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)\).
Bây giờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
\({V^2} = \frac{{{\pi ^2}}}{9}{h^2}\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right) = \frac{{2{\pi ^2}}}{9}.\frac{{{h^2}}}{2}\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)\)
\( \le \frac{{2{\pi ^2}}}{9}.\frac{1}{{27}}{\left[ {\frac{{{h^2}}}{2} + \left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right) + \left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)} \right]^3} = \frac{{16{\pi ^2}}}{{243}}{R^6}\)
Suy ra \(V \le \frac{{4\pi }}{{9\sqrt 3 }}{R^3}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
\(\frac{{{h^2}}}{2} = {R^2} - \frac{{{h^2}}}{4} \Rightarrow {h^2} = \frac{4}{3}{R^2} \Rightarrow h = \frac{2}{{\sqrt 3 }}R\)
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
YOMEDIA
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn \(f(x) + f( - x) = \sqrt {1 + {\rm{cos2x}}} ,\forall x \in R\).
- Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a.
- Hàm số \(f(x) = \sqrt {3 + x} + \sqrt {5 - x} - 3{x^2} + 6x\) đạt giá trị lớn nhất khi x bằng
- Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\overbrace {9 + 99 + ... + 99...9}^n}}{{{{10}^n}}}\) bằng
- Cho tứ diện OABC có các góc tại đỉnh O đều bằng \(90^0\) và \(OA = a, OB = b, OC = c\). Gọi G là trọng tâm của tứ diện.
- Một cuộc họp có sự tham gia của 5 nhà Toán học trong đó có 3 nam và 6 nữ, 6 nhà Vật lý trong đó có 3 nam và 3 nữ và 7
- Số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {1 + x + {x^2} + \frac{1}{x}} \right)^9}\) bằng
- Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho điểm M( a, b, c ).
- Cho hàm số \(y = \left| {{x^3} - x} \right| + m\) với m là một tham số thực. Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
- Một nhóm học sinh gồm 6 bạn nam và 4 bạn nữ đứng ngẫu nhiên thành 1 hàng.
- Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. M là một điểm bất kì bên trong tứ diện.
- Cho \(tanx = m\). Giá trị của \(\frac{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - c{\rm{osx}}}}{{2{{\sin }^3}x - c{\rm{osx}}}}\) bằng
- Số mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình chóp tứ giác là
- Cho tứ diện SABC có trọng tâm G. Một mặt phẳng qua G cắt các tia SA, SB và SC theo thứ tự tại A’, B’ và C’.
- Giá trị của tổng \(1 + {2^2}C_{99}^2 + {2^4}C_{99}^4 + ... + {2^{98}}C_{99}^{98}\) bằng
- Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, độ dài cạnh bên cũng bằng a.
- Bất phương trình \({\log _2}({\log _4}x) + {\log _4}({\log _2}x) \le 2\) có tập nghiệm là
- Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 = 1 và un = un-1 + n với mọi \(n \ge 2\).
- Cho z là một số phức khác 0.
- Hàm số \(f(x) = {(x - 1)^2} + {(x - 2)^2} + ... + {(x - n)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng
- Phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1: \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{1}\)và d2: \(\frac{{x -
- Cho \({\log _{27}}\left| a \right| + {\log _9}{b^2} = 5\) và \({\log _{27}}\left| b \right| + {\log _9}{a^2} = 7\).
- Điều kiện cần và đủ để \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + {m^2} - 9m + 4 = 0\) là phương trình của một mặt cầu
- Trên giá sách có 20 cuốn sách.
- Một hình lăng trụ có tổng số đỉnh và số cạnh bằng 200 thì có số đỉnh là
- Giá trị của tổng \(1 + \frac{1}{i} + \frac{1}{{{i^2}}} + ... + \frac{1}{{{i^{2019}}}}\) ( ở đó i2 = -1 ) bằng
- Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 1}}\). Giá trị của \({f^{(n)}}(0)\]\) bằng
- Cho tam giác ABC.Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là
- Số a > 0 thỏa mãn \(\int\limits_a^2 {\frac{1}{{{x^3} + x}}} dx = \ln 2\) là
- Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + (4 - 2m)x - 6}}{{2(x + 9)}}\) cách gốc
- Thể tích khối trụ nội tiếp một mặt cầu có bán kính R không đổi có thể đạt giá trị lớn nhất bằng
- Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}\). Giá trị của \(f\left( {\frac{1}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{100}}} \right) + ...
- Gieo một con súc sắc năm lần liên tiếp.
- Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz, cho hai điểm A(3, 2, 1) và B(-1, 4, -3).
- Hình vuông nội tiếp elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) thì có diện tích bằng
- Cho tanx – tany = 10 và cotx – coty = 5. Giá trị của tan(x – y) là
- Giá trị của tổng \(C_9^9 + C_{10}^9 + ... + C_{99}^9\) bằng
- Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) và điểm A(0, -1
- Số mặt đối xứng của một hình chóp tứ giác đều là
- Một túi đựng 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ.
- Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c và \(\widehat {BSC} = 120^\circ ,\widehat {CSA} = 90^\circ ,\widehat {{\rm{AS}}B} = 60^\circ \). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Độ dài đoạn SG bằng
- Kí hiệu M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} + \sqrt {4 - {x^2}} \).
- Kí hiệu M và m theo thứ tự là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^3}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^5}x\).
- Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxy cho hai điểm A(1, a) và B( - a, 2).
- Số các số tự nhiên có 5 chữ số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần là
- Giả sử \(\frac{{1 + 2i}}{{1 - i}}\) là một nghiệm ( phức ) của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) trong đó a, b, c là c
- Điều kiện của tham số m để phương trình \({8^{{{\log }_3}x}} - 3{x^{{{\log }_3}2}} = m\) có nhiều hơn một nghiệm là
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \(y=x^2\) và \(y = 2 - \left| x \right|\) bằng
- Số các giá trị nguyên dương của k thỏa mãn 2k có 100 chữ số khi viết trong hệ thập phân là
- Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{({2^x} - 1)({3^x} - 1)...({n^x} - 1)}}{{{x^n} - 1}}\) bằng
