YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Thể tích khối trụ nội tiếp một mặt cầu có bán kính R không đổi có thể đạt giá trị lớn nhất bằng

    • A. \(\frac{{4\pi }}{{9\sqrt 3 }}{R^3}\)
    • B. \(\frac{{\pi }}{{9\sqrt 3 }}{R^3}\)
    • C. \(\frac{{2\pi }}{{9\sqrt 3 }}{R^3}\)
    • D. \(\frac{{4\pi \sqrt 3 }}{9}{R^3}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Gọi r, h, V tương ứng là bán kính đáy, chiều cao và thể tích của khối trụ. Ta dễ dàng thấy \({r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} = {R^2}\). Và từ đó \(V = \frac{\pi }{3}h{r^2} = \frac{\pi }{3}h\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)\).

    Bây giờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

    \({V^2} = \frac{{{\pi ^2}}}{9}{h^2}\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right) = \frac{{2{\pi ^2}}}{9}.\frac{{{h^2}}}{2}\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)\)

    \( \le \frac{{2{\pi ^2}}}{9}.\frac{1}{{27}}{\left[ {\frac{{{h^2}}}{2} + \left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right) + \left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)} \right]^3} = \frac{{16{\pi ^2}}}{{243}}{R^6}\)

    Suy ra \(V \le \frac{{4\pi }}{{9\sqrt 3 }}{R^3}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

    \(\frac{{{h^2}}}{2} = {R^2} - \frac{{{h^2}}}{4} \Rightarrow {h^2} = \frac{4}{3}{R^2} \Rightarrow h = \frac{2}{{\sqrt 3 }}R\)

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 89826

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF