Hình học 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn

5 trắc nghiệm 8 bài tập SGK

Bài trước chúng ta đã tìm hiểu về mối liên hệ giữa các cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Bài hôm nay chúng ta sẽ tiếp tục xem là biết các cạnh của tam giác thì chúng ta có thể biết được các góc trong tam giác là bao nhiêu hay không qua bài học tỉ số lượng giác của góc nhọn

Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Nhận xét:

Từ định nghĩa trên, dễ thấy các tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn luôn dương. Hơn nữa ta có: \(sin\alpha < 1, cos\alpha <1\)

Chú ý:

Nếu hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) có \(sin\alpha =sin\beta\) ( hoặc \(cos\alpha =cos\beta , tan\alpha =tan\beta ,cotg \alpha =cotg\beta\) ) thì \(\alpha =\beta\) vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lý:

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin  góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia

Cụ thể trong hình trên với \(\alpha\) và \(\beta\) là hai góc phụ nhau nên:  \(sin\alpha =cos\beta , cos\alpha =sin\beta, tan \alpha =cotg\beta , cotg\alpha =tan\beta\)

BẢNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

Chú ý:

Từ nay khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta bỏ kí hiệu "^". Chẳng hạn viết \(sinA\) thay vì viết \(sin\widehat{A}\)

Từ định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn ta có: \(tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }; cotg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }\)

và \(tan\alpha .cotg\alpha =1 , sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\); \(1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }; 1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }\)

(các công thức trên có thể chứng minh dễ dàng)

 

Bài tập minh họa

1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6, BC=10. Tính sinB và cosB

Hướng dẫn: Ta có: \(cosB=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=0.6 ;AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8 \Rightarrow sinB=\frac{AC}{BC}=0.8\)

Bài 2: Chuyển các tỉ số lượng giác sau thành các tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn \(45^{\circ}\) : \(sin72^{\circ};cos50^{\circ}; tan68^{\circ}; cotg88^{\circ}\)

Hướng dẫn: Ta có: \(sin72^{\circ}=cos18^{\circ};cos50^{\circ}=sin40^{\circ}; tan68^{\circ}=cotg22^{\circ}; cotg88^{\circ}=tan2^{\circ}\)

Bài 3: Cho tam giác ABC. Biết cosB=0,6. Tính các tỉ số lượng giác góc C

Hướng dẫn: Ta có: \(sinC=cosB=0.6\) và \(cosC=sinB=\sqrt{1-cos^2B}=0.8\)

\(tanC=\frac{sinC}{cosC}=\frac{0.6}{0.8}=\frac{3}{4}\) và \(cotC=\frac{cosC}{sinC}=\frac{0.8}{0.6}=\frac{4}{3}\)

2. Bài tập nâng cao

Bài 1:

a) Rút gọn biểu thức: \(S=cos^2\alpha +tan^2\alpha .cos^2\alpha\) 

b) chứng minh:  \(\frac{(sin\alpha +cos\alpha )^2-(sin\alpha -cos\alpha )^2}{sin\alpha .cos\alpha }=4\)

Hướng dẫn:

a) \(S=cos^2\alpha +tan^2\alpha .cos^2\alpha=cos^2\alpha+\frac{sin^2\alpha }{cos^2\alpha }.cos^2\alpha =sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\)

b) \(VT=\frac{(1+2.sin\alpha .cos\alpha )-(1-2.sin\alpha .cos\alpha )}{sin\alpha.cos\alpha }=\frac{4.sin\alpha .cos\alpha }{sin\alpha .cos\alpha }=4\)

( Áp dụng: \(sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\) )

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. Chứng minh: \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)

Hướng dẫn:Kẻ AH vuông góc với BC ( \(H\in BC\) )

Khi đó: \(sinB=\frac{AH}{c}\Rightarrow sinB.c=AH\) và \(sinC=\frac{AH}{b}\Rightarrow sinC.b=AH\) 

từ đó ta có: \(sinB.c=sinC.b\Rightarrow \frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\) .

Tương tự kẻ đường cao BD ( \(D\in AC\) ) sẽ chứng minh được: \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB} \Rightarrow \frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)

Lời kết

Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 2 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Hình học 9 Bài 2 cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9

-- Mod Toán Học 9 HỌC247