Hình học 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Lý thuyếtTrắc nghiệmBT SGK FAQ

Trong tam giác vuông chúng ta đã từng học về định lý Pi-ta-go biểu thị mối liên hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông. Bài này chúng ta sẽ tìm hiểu thêm nhiều hệ thức liên quan giữa các cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

ĐỊNH LÝ 1:

Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Tam giác ABC vuông tại A (hình 1), ta có:

\(b^2=a.b'\) , \(c^2=a.c'\), cách chứng minh định lý này khá đơn giản dựa vào 2 tam giác vuông đồng dạng là BAC và AHC.

1.2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

ĐỊNH LÝ 2:

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Cụ thể ở hình 1, ta có: \(h^2=b'.c'\) 

ĐỊNH LÝ 3:

Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

Cụ thể ở hình 1, ta có: \(b.c=a.h\)

ĐỊNH LÝ 4:

Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Cụ thể ở hình 1, ta có: \(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) hay  \(h=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}\)

Chú ý: Trong các ví dụ và các bài tập tính toán bằng số của chương này, các số đo độ dài ở mỗi bài nếu không ghi đơn vị ta quy ước là cùng đơn vị đo.

 

 

Bài tập minh họa

2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Tính: \(x, y\)

Hướng dẫn:Áp dụng định lý 1 ta có: \(x^2=3,6.(3,6+6,4)=3,6.10=36\Rightarrow x=6\) 

tương tự: \(y^2=6,4.(3,6+6,4)=6,4.10=64\Rightarrow y=8\)

Bài 2: Tính: \(x,y\)

Hướng dẫn: Áp dụng định lý số 2, ta có: \(4^2=2.y\Rightarrow y=8\).

Áp dụng định lý 1, ta có: \(x^2=2.(2+8)=2.10=20\Rightarrow x=2\sqrt{5}\)

Bài 3: Tính: \(x,y\)

Hướng dẫn: Áp dụng định lý 4, ta có: \(\frac{1}{x^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\Rightarrow x=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{3.4}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{12}{5}\)

Áp dụng định lý 3, ta có: \(x.y=3.4\Rightarrow y=\frac{3.4}{x}=\frac{12}{\frac{12}{5}}=5\)

(có thể tính \(y\) trước bằng định lý pi-ta-go sau đó tính \(x\))

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AH=12. Tính chu vi tam giác ABC

Hướng dẫn: Đặt: \(AB=3k, AC=4k\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9k^2+16k^2}=5k\) 

Áp dụng định lý 3, ta có: \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow 3k.4k=5k.12\Rightarrow k=5\)

\(\Rightarrow AB=15; AC=20; BC=25\) và \(P=60\)

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB, HC lần lượt lấy M, N sao cho \(\widehat{AMC}=\widehat{ANB}=90^{\circ}\) 

CMR: \(AM=AN\)

Hướng dẫn: Xét 2 tam giác ABD và ACE là hai tam giác vuông có chung góc A nên \(\Delta ABD\sim \Delta ACE\) (g.g) \(\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\)                                                                                                (1)

\(\Delta ANB\) vuông tại N có NE là đường cao nên: \(AN^2=AE.AB\)                                                            (2)

\(\Delta AMC\) vuông tại M có MD là đường cao nên:  \(AM^2=AD.AC\)                                                        (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN\)

 

3. Luyện tập Bài 1 Chương 1 Hình học 9

Qua bài giảng Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

  • Nắm vững hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền, một số hệ thức liên quan đến đường cao

3.1 Trắc nghiệm Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1

- Bài tập 1 trang 68 SGK Toán 9 Tập 1

- Bài tập 2 trang 68 SGK Toán 9 Tập 1

- Bài tập 3 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1

- Bài tập 4 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1

- Bài tập 5 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1

- Bài tập 6 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1

- Bài tập 7 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1

- Bài tập 8 trang 70 SGK Toán 9 Tập 1

- Bài tập 9 trang 70 SGK Toán 9 Tập 1

4. Hỏi đáp Bài 1 Chương 1 Hình học 9

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 9 HỌC247

Được đề xuất cho bạn