Bài 1: Hàm số lượng giác - Đại số và Giải tích 11

5 trắc nghiệm 8 bài tập SGK 2 hỏi đáp

Ở chương trình Đại số 10, các em đã được học các khái niệm về giá trị lượng giác, công thức lượng giác,...Đến với chương trình Đại số và Giải tích 11 các em tiếp tục được học các khái niệm mới là Hàm số lượng giác, Phương trình lượng giác. Đây là dạng toán trọng tâm của chương trình lớp 11, luôn xuất hiện trong các kì thi THPT Quốc gia. Để mở đầu, xin mời các em cùng tìm hiểu bài Hàm số lượng giác. Thông qua bài học này các em sẽ nắm được các khái niệm và tính chất của các hàm số sin, cos, tan và cot.

Tóm tắt lý thuyết

1. Hàm số sin và hàm số cosin

a) Hàm số sin

Xét hàm số \(y = \sin x\)

  • Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
  • Tập giá trị: \([-1;1].\)
  • Hàm số tuần hòa với chu kì \(2\pi \).
  • Sự biến thiên:
    • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {-\frac{{ \pi }}{2} + k2\pi ;\,\,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
    • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
  • Đồ thị hàm số \(y = \sin x\)
    • Đồ thị là một đường hình sin.
    • Do hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
    • Đồ thị hàm số \(y = \sin x\):

b) Hàm số cosin

Xét hàm số \(y = \cos x\)

  • Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
  • Tập giá trị: \([-1;1].\)
  • Hàm số tuần hòa với chu kì: \(2\pi \)
  • Sự biến thiên:
    • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \pi + k2\pi ;\,\,k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).
    • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).
  • Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)
    • Đồ thị hàm số là một đường hình sin.
    • Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
    • Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)​:

2. Hàm số tan và hàm số cot

a) Hàm số \(y = \tan x\)

  • Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\) 
  • Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi.\) 
  • Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
  • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\,\frac{\pi }{2} + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
  • Đồ thị hàm số \(y = \tan x\)​
    • Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
    • Đồ thị hàm số \(y = \tan x\):

b) Hàm số \(y = \cot x\)

  • Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\left( {k \in } \right)} \right\}.\) 
  • Tập giá trị là \(\mathbb{R}.\)
  • Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi .\) 
  • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  \(\left( {k\pi ;\,\pi + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
  • Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)
    • Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
    • Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)​:

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\)

b) \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

c) \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\) xác định khi \(cosx\ne0\) hay \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)

b) Hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) xác định khi \(x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)

c) Hàm số \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)\) xác định khi \(\frac{\pi }{3} - 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} - k\frac{\pi }{2}\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

Ví dụ 2: 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 1\)

b) \(y=\sqrt{1+\cos2x}-5\)

Lời giải:

a) Ta có: \(- 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 3\)

\(\Rightarrow - 2 \le 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 1 \le 4\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, giá trị nhỏ nhất cả hàm số là -2.

b) Ta có: \(- 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2\)

\(\Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2 \Rightarrow - 5 \le \sqrt {1 + \cos 2x} - 5 \le \sqrt 2 - 5\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt2-5\), giá trị nhỏ nhất của hàm số là -5.

Ví dụ 3: 

Tìm chu kì tuần hoàn của các hàm số lượng giác sau:

a) \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\)

b) \(y = 2\cos 2x\)

c) \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Lời giải:

Phương pháp: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức cuả hàm số đã cho về một dạng tối giản và lưu ý rằng:

  • Hàm số \(y = \sin x,y = \cos x\) có chu kì \(T=2\pi.\)
  • Hàm số \(y = \tan x,y = \cot x\) có chu kì \(T=\pi.\)
  • Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) cho chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}.\)
  • Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) có chu kì \(T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}.\)

a) Hàm số \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)

b) Hàm số \(y = 2\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)

c) Hàm số \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \frac{\pi}{2} .\)

Lời kết

Trong phạm vi bài học chỉ có thể giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về các Hàm số lượng giác. Các em cần ghi nhớ được khái niệm và tính chất của các hàm số lượng giác làm nền tảng cho việc giải bài tập. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hàm số lượng giác với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247