Hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 3 Nguyên hàm sẽ giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn luyện tốt kiến thức đã học.
-
Bài tập 1 trang 121 SGK Giải tích 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) \(y = x^2, y = x + 2\);
b) \(y = |lnx|, y = 1\);
c) \(y = (x - 6)^2, y = 6x- x^2\)
-
Bài tập 2 trang 121 SGK Giải tích 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 +1, tiếp tuyến với đường thẳng này tại điểm M(2;5) và trục Oy.
-
Bài tập 3 trang 121 SGK Giải tích 12
Parabol \(y=\frac{x^{2}}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2 \sqrt {2}\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
-
Bài tập 4 trang 121 SGK Giải tích 12
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
a) \(\small y = 1 - x^2 , y = 0\) ;
b) \(\small y = cosx, y = 0, x = 0, x = \pi\) ;
c) \(\small y = tanx, y = 0, x = 0,x=\frac{\pi }{4}\) ;
-
Bài tập 5 trang 121 SGK Giải tích 12
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt \(\widehat{POA}=\alpha\) và \(OM=R, \left ( 0\leq \alpha \leq \frac{\pi }{3}, R>0 \right )\).
Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh Ox (H.63).
a) Tính thể tích của V theo α và R.
b) Tìm \(\small \alpha\) sao cho thể tích V là lớn nhất.
-
Bài tập 26 trang 167 SGK Toán 12 NC
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và \(x = \frac{{7\pi }}{6}\)
-
Bài tập 27 trang 167 SGK Toán 12 NC
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số y = cos2x trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π
b) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}\)
c) Đồ thị hàm số y = 2x2 và y = x4 −2x2 trong miền x ≥ 0 . -
Bài tập 28 trang 167 SGK Toán 12 NC
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị các hàm số y = x2 − 4, y = −x2 − 2x và đường thẳng x = −3, x = −2
b) Đồ thị hai hàm số y = x2 và y = −x2 − 2x
c) Đồ thị hàm số y = x3 − 4x, trục hoành, đường thẳng x = - 2 và đường thẳng x = 4 -
Bài tập 29 trang 172 SGK Toán 12 NC
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \)
-
Bài tập 30 trang 172 SGK Toán 12 NC
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ π) là một tam giác đều cạnh \(2\sqrt {{\rm{sinx}}} \)
-
Bài tập 31 trang 172 SGK Toán 12 NC
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, và \(y = \sqrt x - 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành
-
Bài tập 32 trang 173 SGK Toán 12 NC
Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = 2/y, y = 1 và y = 4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung
-
Bài tập 33 trang 173 SGK Toán 12 NC
Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt 5 {y^2},x = 0,y = - 1\) và y = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
-
Bài tập 34 trang 173 SGK Toán 12 NC
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị các hàm số y = x, y = 1 và \(y = \frac{{{x^2}}}{4}\) trong miền x ≥ 0, y ≤ 1.
b) Đồ thị hai hàm số y = x4 − 4x2 + 4, y = x2, trục tung và đường thẳng x = 1
c) Đồ thị các hàm số y = x2, y = 4x − 4 và y = −4x – 4
-
Bài tập 35 trang 175 SGK Toán 12 NC
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hai hàm số y = x2 + 1 và y = 3 – x
b) Các đường có phương trình x = y3, y = 1, và x = 8
c) Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt x \),y = 6 − x và trục hoành.
-
Bài tập 36 trang 175 SGK Toán 12 NC
Tính thể tích của vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {\sin x} \)
-
Bài tập 37 trang 175 SGK Toán 12 NC
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = x2, x = 0 và x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
-
Bài tập 38 trang 175 SGK Toán 12 NC
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = cosx,y = 0, x = 0 và x = π/4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
-
Bài tập 39 trang 175 SGK Toán 12 NC
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường \(y = x{e^{\frac{x}{2}}}\) y = 0, x = 0 và x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
-
Bài tập 40 trang 175 SGK Toán 12 NC
Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt {2\sin 2y} ,x = 0,y = 0\), x = 0,y = 0, \(y = \frac{\pi }{2}\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
-
Bài tập 3.31 trang 178 SBT Toán 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) \(y = 2x - {x^2},x + y = 2\);
b) \(y = {x^3} - 12x,y = {x^2}\);
c) \(x + y = 1,x + y = - 1,x - y = 1,x - y = - 1\);
d) \(y = \frac{1}{{1 + {x^2}}},y = \frac{1}{2}\);
e) \(y = {x^3} - 1\) và tiếp tuyến với \(y = {x^3} - 1\) tại điểm (-1;-2).
-
Bài tập 3.32 trang 178 SBT Toán 12
Tính thể tích vật thể:
a) Có đáy là một tam giác cho bởi: y = x , y = 0 , và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.
b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x2 + y2 = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.
-
Bài tập 3.33 trang 178 SBT Toán 12
Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:
a) y = 2 – x2, y = 1, quanh trục Ox.
b) y = 2x – x2, y = x, quanh trục Ox.
c) \(y = {(2x + 1)^{\frac{1}{3}}},x = 0,y = 3\) quanh trục Oy.
-
Bài tập 3.34 trang 178 SBT Toán 12
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{x}\), y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể tích của vật thể khi \(a \to + \infty \) (tức là \(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a)\)).
-
Bài tập 3.35 trang 178 SBT Toán 12
Một hình phẳng được giới hạn bởi \(y = {e^{ - x}},y = 0,x = 0,x = 1\). Ta chia đoạn [0;1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như dưới).
a) Tính diện tích Sn của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).
b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\) và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.
-
Bài tập 3.36 trang 179 SBT Toán 12
Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?
a) \(\{ y = x + \sin x,y = x\) với \(0 \le x \le \pi \} \) và \(\{ y = x + \sin x,y = x\) với \(\pi \le x \le 2\pi \} \)
b) \(\{ y = \sin x,y = 0\) với \(0 \le x \le \pi \} \) và với \(\{ y = \cos x,y = 0\) với \(0 \le x \le \pi \} \)
c) \(\{ y = \sqrt x ,y = {x^2}\} \) và \(\{ y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y = 1 - x\} \)
-
Bài tập 3.37 trang 179 SBT Toán 12
Cho hình phẳng R giới hạn bởi các đường sau đây: \({y_1} = {f_1}\left( x \right).{y_2} = {f_2}\left( x \right)\) (\({f_1},{f_2}\) là các hàm số liên tục trên đoạn [a;b]), x = a và x = b. Hãy chỉ ra công thức sai trong việc tính diện tích hình R.
A. \(\int \limits_a^b \left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx\)
B. \(\int \limits_a^b \left| {{f_2}\left( x \right) - {f_1}\left( x \right)} \right|dx\)
C. \(\left| {\int \limits_a^b \left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \right|\)
D. \(\left| {\int \limits_a^b \left[ {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right]dx} \right|\)
-
Bài tập 3.38 trang 179 SBT Toán 12
Diện tích hình phẳng P giới hạn bởi các đường \({y_1} = x,{y_2} = 2x,{y_3} = 2 - x\) bằng:
A. 1
B. \(\frac{2}{3}\)
C. 2
D. \(\frac{2}{3}\)
-
Bài tập 3.39 trang 180 SBT Toán 12
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \({y_1} = {x^3};{y_2} = 4x\) bằng
A. 0
B. 4
C. 8
D. −8
-
Bài tập 3.40 trang 180 SBT Toán 12
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = b và x = a (trong đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [b;a]). Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay hình H quanh trục Ox được cho bởi công thức:
A. \(\pi \int \limits_a^b {f^2}\left( x \right)dx\)
B. \(\int \limits_a^b {f^2}\left( x \right)dx\)
C. \(\pi \int \limits_b^a {f^2}\left( x \right)dx\)
D. \(\int \limits_a^b {\left[ {\pi f\left( x \right)} \right]^2}dx\)
-
Bài tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12
Quay hình phẳng Q giới hạn bởi các đường \({y_1} = \sin x,{y_2} = \frac{{2x}}{\pi }\) quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng
A. \(\frac{1}{6}\)
B. \(\frac{\pi }{6}\)
C. 8
D. \(\frac{{{\pi ^2}}}{6}\)
-
Bài tập 3.42 trang 480 SBT Toán 12
Quay hình phẳng G giới hạn bởi các đường y = x3, y = 1, x = 0 xung quanh trục Oy. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng:
A. \(\pi \)
B. \(\frac{5}{3}\pi \)
C. \(\frac{3}{5}\pi \)
D. \(\frac{3}{5}\)