ADMICRO
VIDEO

Bài tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12

Bài tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12

Quay hình phẳng Q giới hạn bởi các đường \({y_1} = \sin x,{y_2} = \frac{{2x}}{\pi }\) quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng

A. \(\frac{1}{6}\)                    

B. \(\frac{\pi }{6}\)

C. 8                      

D. \(\frac{{{\pi ^2}}}{6}\)

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: \(\sin x = \frac{{2x}}{\pi } \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = \frac{\pi }{2}}\\
{x =  - \frac{\pi }{2}}
\end{array}} \right.\)

Khi đó \(V = \pi \int \limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx\)

Dễ thấy \(f\left( x \right) = \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|\) 

là hàm số chẵn nên:

\(\begin{array}{l}
V = 2\pi \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx\\
 = 2\pi \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right)dx\\
 = 2\pi \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin ^2}xdx - \frac{8}{\pi }\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}dx\\
 = \pi \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {1 - \cos 2x} \right)dx - \frac{8}{\pi }\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}dx\\
 = \pi \left. {\left( {x - \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\frac{8}{\pi }.\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\
 = \pi \left( {\frac{\pi }{2} - 0} \right) - \frac{8}{\pi }.\frac{1}{3}.{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^3}\\
 = \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{3} = \frac{{{\pi ^2}}}{6}
\end{array}\)

Chọn D.

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.

ADMICRO

 

YOMEDIA
ON