ON
YOMEDIA
VIDEO

Bài tập 2.16 trang 60 SBT Hình học 12

Giải bài 2.16 tr 60 SBT Hình học 12

Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a) \(\widehat {BAC} = {90^0}\)

b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và b = c

c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\) và b = c

YOMEDIA

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) \(\widehat {BAC} = {90^0}\). Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có  OS = OA = OB = OC

Và \({r^2} = O{A^2} = O{M^2} + M{A^2} = {(\frac{a}{2})^2} + {(\frac{b}{2})^2} + {(\frac{c}{2})^2}\)

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có \(r = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có  OS = OA = OB = OC và \({r^{2}} = O{A^{2}} = O{I^2} + I{A^2}\)

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có

\({r^2} = {(\frac{a}{2})^2} + {(\frac{2}{3}b\frac{{\sqrt 3 }}{2})^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{3}\). Vậy \(r = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{3}} \)

c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\) và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 1200 và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.

Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có: OS = OA = OB = OC và \({r^2} = O{A^2} = O{K^2} + K{A^2} = {(\frac{a}{2})^2} + {b^2}\)

Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính \(r = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + {b^2}} \)

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 2.16 trang 60 SBT Hình học 12 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

 

YOMEDIA
1=>1