Bài tập 6 trang 45 SGK Hình học 12 NC

a)

Mặt cầu tâm O tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA  của tam giác ABC lần lượt tại các điểm I, J, K khi và chỉ khi OI ⊥ AB, OJ ⊥ BC, OK ⊥ CA,O I= OJ = OK ∈ (∗)

Gọi O′ là hình chiếu vuông góc của O trên mp (ABC) thì các điều kiện (*) tương đương

với O′I ⊥ AB, O′J ⊥ BC, O′K ⊥ CA, O′I = O′J = O′K hay O′ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Suy ra tập hợp các điểm O là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

b)

Giả sử mặt cầu (S) nội tiếp với các cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD lần lượt tại P, Q, R, S, T, U.

Ta cần chứng minh: AB + CD = AC + BD = AD + BC

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:

AB + CD = AP + PB + CR + RD

= AT + BU + CT + DU = (AT + TC) + (BU + UD) = AC + BD

Vậy AB + CD = AC + BD 

Chứng minh tương tự AC + BD = AD + BC 

Vậy AB + CD = AC + BD = AD + BC 

-- Mod Toán 12 HỌC247