Bài tập 2.20 trang 61 SBT Hình học 12

Gọi H trọng tâm của tam giác đều BCD.

Ta có AH⊥(BCD). Do đó, \(A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = {a^2} - {(\frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2})^2} = \frac{{2{a^2}}}{3}\)

Vậy \(AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) và \(OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Mặt khác \(O{C^2} = O{H^2} + H{C^2} = \frac{{{a^2}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{{a^2}}}{2}\) hay \(OC = OB = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vì BD = BC = CD = a nên các tam giác DOB, BOC, COD là những tam giác vuông cân tại O.

Do đó hình chóp ODBC là hình chóp có đáy là tam giác đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp phải nằm trên OH, ngoài ra tâm của mặt cầu ngoại tiếp này phải nằm trên trục của tam giác vuông DOB.

Từ trung điểm C’ của cạnh BD ta vẽ đường thẳng song song với OC cắt đường thẳng OH tại I.

Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Mặt cầu này có bán kính là IC và \(I{C^2} = {\rm{ }}I{H^2} + {\rm{ }}H{C^2}.\)

Chú ý rằng \(IH = \frac{1}{2}OH\) (vì \(HC' = \frac{1}{2}HC\))

Do đó: \(I{C^2} = \frac{{{a^2}}}{{24}} + \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{9{a^2}}}{{24}}\) hay \(IC = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247