Bài tập 2.15 trang 60 SBT Hình học 12

a) Theo giả thiết ta có: \(\widehat {A'M'M} = \widehat {A'AM} = \widehat {A'{M_1}M} = {90^0}\)

Do đó 5 điểm A, A’, M, M’, M₁ cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính \(r = \frac{{A'M}}{2}\)

Mặt khác ta có A’M² = A’A² + AM², trong đó \(\cos \varphi  = \frac{{M{M_1}}}{{AM}}\) nên \(AM = \frac{{M{M_1}}}{{\cos \varphi }} = \frac{x}{{\cos \varphi }}\)

Do đó \(A'{M^2} = {a^2} + \frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\varphi }}\)

\( \Rightarrow A'M = \sqrt {\frac{{{a^2}{{\cos }^2}\varphi  + {x^2}}}{{{{\cos }^2}\varphi }}}  = \frac{1}{{\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi  + {x^2}} \)

Mặt cầu tâm O có bán kính \(r = \frac{{A'M}}{2} = \frac{1}{{2\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi  + {x^2}} \)

Diện tích của mặt cầu tâm O là: \(S = 4\pi {r^2} = \pi {(2r)^2} = \pi {(A'M)^2} = \pi ({a^2} + \frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\varphi }})\)

b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // Δ nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với Δ.

Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’, có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’.

Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.

-- Mod Toán 12 HỌC247