ON
ADMICRO
VIDEO

Bài tập 10 trang 46 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 10 trang 46 SGK Hình học 12 NC

a) Chứng minh rằng một hình trụ lăng trụ có mặt cầu cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng với đáy là đa giác nội tiếp đường tròn.

b) Trong số các hình hộp nội tiếp mặt cầu cho trước, hình hộp nào có diện tích toàn phần lớn nhất?

VDO.AI

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a)

Nếu H là hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì các mặt bên là những hình bình hành có đường tròn ngoại tiếp nên phải là hình chữ nhật. Vậy H là hình lăng trụ đứng. Ngoài ra vì H có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải là đa giác có đường tròn ngoại tiếp.

Ngược lại, cho H là hình lăng trụ đứng có các đường tròn (C) và (C’) ngoại tiếp các đa giác đáy. Gọi I và I’ là tâm của hai đường tròn đó thì II’ là trục của cả hai đường tròn. Vì thế nếu gọi O là trung điểm của II’ thì O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ đã cho. Vậy hình lăng trụ ấy có mặt cầu ngoại tiếp.

b) Nếu hình hộp H nội tiếp mặt cầu S(O;R) thì các mặt của H phải là những hình chữ nhật, vậy H là hình hộp chữ nhật mà O là giao điểm của các đường chéo và độ dài đường chéo là d = 2R. Gọi x, y, z là ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó thì \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {d^2} = 4{R^2}\).

Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp thì ta có:

\(\begin{array}{l}
S = 2xy + 2yz + 2xz\\
 \le \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} + {x^2}} \right) = 8{R^2}
\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

\(x = y = z = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy S đạt giá trị lớn nhất là 8R2 khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}\), khi đó H là hình lập phương.

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 10 trang 46 SGK Hình học 12 NC HAY thì click chia sẻ 
AMBIENT

Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.

 

AMBIENT
1=>1